我们通过求函数的近似值,导出函数的微分的定义。
笔记下载:函数的近似值与微分
首先我们看一个问题: 的值大概是多少?
这是一个求近似值的问题,我们知道 是个无理数,我们一不知道它的准确值。
1,函数的近似值:函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上,当 很小的时候,我们有
因为 是
这一点切线的斜率,那么
就是切线从
到
部分的增量,它与函数的增量
之间非常接近。
越小,它的近似程度越高。
我们记
现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。
例1:求 的近似值。
解:我们令 ,则我们可以取
,那么
。
,
。所以
也就是说, 。我们可以用计算器验算一下它的真实值:1.024695… ,可以看到它们之间的误差非常小。
例2:求 的近似值。
解:我们可以设 ,
。我们知道
,
,
,所以
2,函数的微分。我们定义函数 的微分为
从代数形式上看,我们有
从几何上看,如果我们记 ,那么从我们前面的图形上看,
就是切线的增量。我们前面求函数的近似值,实际上就是用切线的增量来近似函数的增量。
我们以前把 看成是一个整体, 表示函数的导数。现在有了微分的定义以后,
和
就有了各自的意义。
表示自变量的增量,
表示切线的增量,它们的比就是切线的斜率。
另外有了微分的定义以后,我们也把导数 叫做函数的微商。
微分的求法很简单,只需要知道函数的导数,我们就能直接得到函数的微分。我们就不举例了。
3:微分形式不变性:若 ,则