函数的近似值与微分

我们通过求函数的近似值，导出函数的微分的定义。

首先我们看一个问题： $\sqrt{1.05}$ 的值大概是多少？

这是一个求近似值的问题，我们知道 $\sqrt{1.05}$ 是个无理数，我们一不知道它的准确值。

1，函数的近似值：函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上，当 $|\Delta x|$ 很小的时候，我们有

$f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x$

这一点可以从导数的定义得到

因为 $f'(a)$ 是 $x=a$ 这一点切线的斜率，那么 $f'(a)\Delta x$ 就是切线从 $x=a$ 到 $x=a+\Delta x$ 部分的增量，它与函数的增量 $f(a+\Delta x)-f(a)$ 之间非常接近。 $\Delta x$ 越小，它的近似程度越高。

我们记

$L(a)=f(a)+f'(a)\Delta x, \text{或者} L(x)=f(x)+f'(x)\Delta x$

它们称为函数的线性近似函数。也就是说

$f(x+\Delta x)\approx L(x)$

现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。

例1：求 $\sqrt{1.05}$ 的近似值。

解：我们令 $f(x)=\sqrt{x}$ ，则我们可以取 $a=1$ ，那么 $\Delta x=0.05$ 。 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ， $f'(1)=\frac{1}{2}, f(1)=1$ 。所以

$f(1.05)\approx f(1)+f'(1)\Delta x=1+\frac{1}{2}\cdot 0.05=1.025$

也就是说， $\sqrt{1.05\approx 1.025}$ 。我们可以用计算器验算一下它的真实值：1.024695… ,可以看到它们之间的误差非常小。

例2：求 $\tan44^{\circ}$ 的近似值。

解：我们可以设 $f(x)=\tan x$ ， $a=45^{\circ}=\frac{\pi}{4},\Delta=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}$ 。我们知道 $f(\frac{\pi}{4})=\tan\frac{\pi}{4}=1$ ， $f'(x)=\sec^2x$ ， $f'(\frac{\pi}{4})=\sec^2\frac{\pi}{4}=2$ ，所以

$\tan44^{\circ}\approx\tan\frac{\pi}{4}+\sec^2\frac{\pi}{4}(-\frac{\pi}{180})=1-\frac{2\pi}{180}=1-\frac{\pi}{90}$

2，函数的微分。我们定义函数 $y=f(x)$ 的微分为

$dy=f'(x)dx$

从代数形式上看，我们有

$\frac{dy}{dx}=f'(x)\Rightarrow dy=f'(x)dx$

从几何上看，如果我们记 $dx=\Delta x$ ，那么从我们前面的图形上看， $dy=f'(x)dx$ 就是切线的增量。我们前面求函数的近似值，实际上就是用切线的增量来近似函数的增量。

我们以前把 $\frac{dy}{dx}$ 看成是一个整体，表示函数的导数。现在有了微分的定义以后， $dy$ 和 $dx$ 就有了各自的意义。 $dx$ 表示自变量的增量， $dy$ 表示切线的增量，它们的比就是切线的斜率。

另外有了微分的定义以后，我们也把导数 $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ 叫做函数的微商。

微分的求法很简单，只需要知道函数的导数，我们就能直接得到函数的微分。我们就不举例了。

３：微分形式不变性：若 $y=f(x), x=g(t)$ ，则

$dy=f'(x)dx=f'(x)g'(t)dt=y'(t)dt$

所以不管是不是有中间变量，微分形式是不变的。