函数的近似值与微分

我们通过求函数的近似值,导出函数的微分的定义。

首先我们看一个问题:\(\sqrt{1.05}\) 的值大概是多少?

这是一个求近似值的问题,我们知道 \(\sqrt{1.05}\) 是个无理数,我们一不知道它的准确值。

1,函数的近似值:函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上,当 \(|\Delta x|\) 很小的时候,我们有\[f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x\]这一点可以从导数的定义得到

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因为 \(f'(a)\) 是 \(x=a\) 这一点切线的斜率,那么 \(f'(a)\Delta x\) 就是切线从 \(x=a\) 到 \(x=a+\Delta x\) 部分的增量,它与函数的增量 \(f(a+\Delta x)-f(a)\) 之间非常接近。\(\Delta x\) 越小,它的近似程度越高。

我们记 \[L(a)=f(a)+f'(a)\Delta x, \text{或者} L(x)=f(x)+f'(x)\Delta x\] 它们称为函数的线性近似函数。也就是说 \[f(x+\Delta x)\approx L(x)\]

现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。

例1:求 \(\sqrt{1.05}\) 的近似值。

解:我们令 \(f(x)=\sqrt{x}\),则我们可以取 \(a=1\),那么 \(\Delta x=0.05\)。\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\),\(f'(1)=\frac{1}{2}, f(1)=1\)。所以

\[f(1.05)\approx f(1)+f'(1)\Delta x=1+\frac{1}{2}\cdot 0.05=1.025\]

也就是说, \(\sqrt{1.05\approx 1.025}\)。我们可以用计算器验算一下它的真实值:1.024695… ,可以看到它们之间的误差非常小。

例2:求 \(\tan44^{\circ}\) 的近似值。

解:我们可以设 \(f(x)=\tan x\), \(a=45^{\circ}=\frac{\pi}{4},\Delta=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}\)。我们知道 \(f(\frac{\pi}{4})=\tan\frac{\pi}{4}=1\),\(f'(x)=\sec^2x\),\(f'(\frac{\pi}{4})=\sec^2\frac{\pi}{4}=2\),所以\[\tan44^{\circ}\approx\tan\frac{\pi}{4}+\sec^2\frac{\pi}{4}(-\frac{\pi}{180})=1-\frac{2\pi}{180}=1-\frac{\pi}{90}\]

2,函数的微分。我们定义函数 \(y=f(x) \) 的微分为 \[dy=f'(x)dx\]

从代数形式上看,我们有 \[\frac{dy}{dx}=f'(x)\Rightarrow dy=f'(x)dx\]

从几何上看,如果我们记 \(dx=\Delta x\),那么从我们前面的图形上看, \(dy=f'(x)dx\) 就是切线的增量。我们前面求函数的近似值,实际上就是用切线的增量来近似函数的增量。

我们以前把 \(\frac{dy}{dx}\) 看成是一个整体, 表示函数的导数。现在有了微分的定义以后,\(dy\) 和 \(dx\) 就有了各自的意义。\(dx\) 表示自变量的增量,\(dy\) 表示切线的增量,它们的比就是切线的斜率。

另外有了微分的定义以后,我们也把导数 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\)叫做函数的微商。

微分的求法很简单,只需要知道函数的导数,我们就能直接得到函数的微分。我们就不举例了。

3:微分形式不变性:若 \(y=f(x), x=g(t)\),则 \[dy=f'(x)dx=f'(x)g'(t)dt=y'(t)dt\]所以不管是不是有中间变量,微分形式是不变的。