无穷区间上的反常积分

之前的积分,都是在有限区间上进行的。那么如果是无穷区间,我们如何定义函数在这样的区间上的定积分?这就需要我们推广定积分的定义。

笔记下载:无穷区间上的反常积分

广义积分,或者反常积分,主要有两种情况:无穷区间上的广义积分;无界函数的广义积分。我们首先定义无穷区间上的广义积分。

1,无穷区间上的广义积分(反常积分):我们定义无穷区间上的广义积分为

\[(1)\quad\int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)dx\]

\[(2)\quad\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx\]

\[(3)\quad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx\]

若 (1),(2)中的极限存在,我们就说 (1)(2)中的广义积分收敛,反之,积分发散。若(3)中两个积分都收敛,我们说积分收敛,若有一个不收敛,我们说积分发散。

例1:计算广义积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\)。

解:\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b\to\infty}\int_1^{b}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{b\to\infty}2x^{\frac{1}{2}}\Big|_0^b=\lim_{b\to\infty}2\sqrt{b}=\infty\end{align*}

所以积分发散。

例2:计算积分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^0xe^xdx\)。

解:\begin{align*}\int_{-\infty}^0xe^xdx=\lim_{a\to-\infty}^0=\lim_{a\to-\infty}(xe^x-e^x)\Big|_a^0=\lim_{a\to-\infty}(e^a-ae^a-1)=-1\end{align*}

所以,积分收敛。

若记 \(F(\infty)=\lim_{x\to\infty}F(x),F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)\),我们可以像普通定积分一样计算,只是需要记住,\(F(\infty), F(-\infty)\),是在极限意义下的函数值。

例3:计算 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx, p\ne 1\)。

解:\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Big|_1^{\infty}=\begin{cases}\frac{1}{p-1}, &p>1\\ \infty, &P<1\end{cases}\end{align*}

所以积分在 \(p>1\) 时收敛,\(p<1\) 时发散。

若 \(p=1\), (\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\ln x\BIg_1^{\infty}=\infty\)。

所以积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\) 在 \(p>1\) 时收敛,\(p\le 1\) 时发散。

例4:计算 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx\)。

解:\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\Big|_{-\infty}^{\infty}=\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi\end{align*}