无界函数的反常积分

另一种广义积分是无界函数的广义积分,也称为瑕积分。就是函数在区间内某一个点附近无界,这时候的积分称为瑕积分。

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1,瑕积分(无界函数的广义积分):

(1)若 \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\),则定义\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx\]

(2)若 \(\lim_{x\to b}f(x)=\pm\infty\),则定义\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int_t^bf(x)dx\]

(3)若 \(\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty, c\in (a,b)\),则定义\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\]

等式右边的两个积分用 (1)、(2)两个定义。

若(1)、(2)两个极限存在,我们就称瑕积分收敛,反之称瑕积分发散;(3)式右边两个积分都收敛,我们称积分收敛,若有一个不收敛,我们称积分发散。

如同无穷区间上的广义积分一样,我们记\(\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b\),在瑕点处的函数值是在极限的意义下取的。

例1:求积分 \(\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{z^2-x^2}}\)。

解:\[\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{z^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}\Big|_0^{a}=\frac{\pi}{2}\]

例2:讨论 \(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx\) 的敛散性。

解:注意到,\(x=0\) 是函数的瑕点,所以

\[\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx+\int_0^1\frac{1}{x^2}dx\]

因为 \[\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_{-1}^0=\infty, \int_0^1\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_0^1=\infty\]

所以积分发散。