微积分基本定理(牛顿-莱不尼兹公式)

这一节我们证明微积分里最重要最根本的一个定理:牛顿-莱不尼兹公式(牛顿-莱不尼兹定理),它深刻揭示了微分与积分之间的关系,所以这个定理也称为微积分基本定理。

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1,定理(微积分基本定理,牛顿-莱不尼兹公式):设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,\(F(x)\) 是它的一个原函数,则 \[\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)\]

证明:我们设 \(g(x)=\int_a^xf(t)dt\),则由上一节的内容我们知道, \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。所以由原函数之间的关系, \(g(x)=F(x)+C\),从而

\[g(b)=\int_a^bf(t)dt=F(b)+C\]

\[ g(a)=\int_a^af(t)dt=0, g(a)=F(a)+C\]

所以 \(C=-F(a)\),因而

\[\int_a^bf(t)dt=F(b)+C=F(b)-F(a)\]证毕。

有了微积分基本定理之后 ,求定积分就变得异常简单了,我们求出被积函数的原函数以后,将积分的上、下限代入原函数,就得到了定积分的值。

例1:求积分 \(\displaystyle\int_{-2}^1x^3dx\)。

解:\[\int_{-2}^1x^3dx=\frac{1}{4}x^4\Big|_{-2}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-2)^4=-\frac{15}{4}\]

例2:求积分 \(\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx\)。

解:\[\int_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\Big|_{-1}^{\sqrt3}=\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7\pi}{12}\]

例3:求曲线 \(y=\cos x, 0\le x\le \frac{\pi}{2}\) 下方的面积。

解:曲定积分的几何意义,我们知道,

\[A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=1\]