定积分的概念

我们从求曲边梯形的面积开始,导出定积分的概念。

笔记下载:定积分的定义

1,曲边梯形的面积: 我们假设一个曲边梯形的顶部由一条曲线 \(y=f(x), a\le x\le b\) 给出,如何求这个曲边梯形的面积?

现阶段,我们没有直接的方法求得这种曲边梯形的面积。但我们有办法求得这种曲边梯形面积的近似值。我们将区间 \([a,b]\) 用点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\) 划分成一个个很小的子区间,在每一个区间上,我们用长方形的面积来近似曲边梯形的面积:

在区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内任取一点 \(\xi_i\),那么这个区间上的曲边梯形的面积 \[\Delta A_i\approx f(\xi_i)\Delta x_i\]

将所有的这些小长方形的面积加起来,我们就得到了整个曲边梯形的面积的近似值:

\[A=\sum_{i=1}^n\Delta A_i\approx\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]

当我们将区间越划越细时,也就是当所有的区间长度趋近于 \(0\) 时,这个和式的极限就是曲边梯形面积的精确值,也就是 \[A=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]这里 \(\Delta x\) 是所有这些小区间中长度的最大的那个区间的长度,即 \(\Delta x=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i\)。

2,定积分的定义:上面求曲边梯形的面积的公式太复杂,写起来一大堆,我们用一个符号 \(\displaystyle\int_a^b\)代表和式的极限,就是

\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\]

我们称之为区间 \([a,b]\) 上的定积分。\(\int\) 称为积分号,\(a,b\) 分别叫做积分下、上限,\(f(x)\) 称为被积函数, \(x\) 称为积分变量。

通常我们还称 \(\displaystyle \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\) 为函数的黎曼和,或者积分和。若上面的极限存在,我们称函数在区间 \([a,b]\) 上可积。

注意:从定积分的定义来看,积分的值与被积变量无关,只与被积函数与积分区间有关。也就是说,积分使用什么变量没关系,只要 \(f\) 与 \(a,b\) 相同,积分值是相同的,即

\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(u)du=\int_a^bf(t)dt\]

3,变速直线运动的路程:设物体沿直线作变速直线运动,它的速度为 \(v(t)\),我们计算它在时间段 \([a,b]\) 内运动的路程。

因为是变速直线运动,我们不能用速度乘以时间的方式得到运动的路程。首先,我们计算它的近似值。将时间段 \([a,b]\) 划分成非常短的子段,在每一个子段上,速度近似于常数,在每一个子段了,取任一时间点的速度 \(v(\xi_i), t_{i-1}\le \xi_i\le t_i\),作为整个时间段的速度,我们就得到了每一个子段内路程的近似值

\[\Delta s_i\approx v(\xi_i)\Delta t_i\]

整个时间段内的路程的近似值为

\[s=\sum_{i=1}^n\Delta s_i\approx \sum_{i=1}^nv(\xi_i)\Delta t_i\]

时间段划分得越细,则近似值越接近于精确值,于是当每一子段的长度趋于 \(0\) 时,它的极限值就是路程的精确值,即 \[s=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_{i=1}^nv(\xi_i)\Delta t_i\]

其中 \(\Delta t\) 为所有子段中,长度最长的那一段。

这里我们又看到了和式的极限,如前面曲边梯形的面积一样,我们就得到了定积分的概念。

\[s=\int_a^bv(t)dt\]

4,可积函数类:常见的两类函数是可积的

  • 区间上的连续函数是可积的;
  • 区间上只有有限个间断点的有界函数是可积的。

这里我们不去深入地讨论可积函数类。如果有兴趣,可以参考数学分析的相关书箱。

现在我们用刚才的定义来求一个定积分。

例1:用定积分的定义求积分 \(\displaystyle\int_0^1x^2dx\)。

解:我们将区间分成 \(n\) 等分,则分点依次为 \(x_0=0, x_1=\frac{1}{n}, \cdots, x_{i}=\frac{i}{n},\cdots, x_n=1\)。每一个区间长度为 \(\Delta x_i=\frac{1}{n}\)。

我们取 \(\xi_i=x_{i-1}\),就是每一个区间的左端点,那么

\begin{align*}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i&=\sum_{i=1}^n(\frac{i-1}{n})^2\frac{1}{n}=\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{i}{n})^2\frac{1}{n} \\&=\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\end{align*}

这里我们应用了等式 \(\displaystyle\sum_{i=0}^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。在上式中, 令 \(\Delta x\to 0\),就是 \(n\to\infty\),我们得到了

\[\int_0^1x^2dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{1}{3}\]