定积分的换元法

定积分的换元法,与不定积分换元法稍有不同。我们对定积分进行换元运算的时候,同时改变积分上、下限的值,得到原函数后,也不用回代原来的变量,直接代入新的上、下限即可。

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1,定理(定积分的换元法):设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内可积,若 \(g'(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内连续, \(f(x)\) 在 \(u=g(x)\) 的值域上连续,则

\[\int_a^bf(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du=F(g(b))-F(g(a))\]

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。

证明:因为

\begin{align*}\int_a^bf(g(x))g'(x)dx&=\int_a^bF'(g(x))g'(x)dx\\ &=\int_a^b(F(g(x)))’dx=F(g(b))-F(g(a))\\ &=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du\end{align*}

证毕。

这个公式可以看成是定积分的第一类换元法。若将上述的证明过程倒推回去,就得到了定积分的第二类换元法。

3,定理:若 \(x=\phi(t)\) 满足

(1)\(\phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b\);

(2)\(phi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上具有一阶连续导数,其值域为 \([a,b]\),则

\[\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt\]

这两个定理都告诉我们,定积分的换元法,不用代回到原来积分变量,直接代入新的积分上、下限即可。当然,如果先求出原函数,再代入原来变量的上、下限也可以。

例1:求积分 \(\displaystyle\int_0^4\sqrt{2x+1}dx\)。

解:令 \(u=2x+1\),则 \(du=2dx, dx=\frac{1}{2}du\),\(x=0\) 时, \(u=1\),\(x=4\) 时,\(u=9\),所以

\begin{align*}\int_0^4\sqrt{2x+1}dx&=\int_1^9\sqrt{u}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\Big|_1^9=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\end{align*}

例2:求积分 \(\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\)。

解:令 \(x=a\sin t\),则 \(dx=a\cos t\),\(x=0\) 时,\(t=0\),\(x=a\) 时,\(t=\frac{\pi}{2}\),所以

\begin{align*}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx&=\int)^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos tdt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2tdt=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2t}{2}dt\\ &=a^2\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}a^2\end{align*}

求定积分的时候,我们要注意函数的取值情况,这与不定积分不一样,求不定积分的时候,我们一般不考虑函数取值的情况,但在求定积分的时候,我们需要注意这一点。

例3:求积分 \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x-sin^5x}dx\)。

解:我们在根号里提出因子 \(\sin^3x\),

\[\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x-sin^5x}dx=\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x(1-sin^2x)}dx=\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x\cos^2x}dx\]

我们知道, \(1-\sin^2x=\cos^2x\),但是 \(\cos^2x\) 不能直接提到根号外面来,这是因为 \(\cos^2x\ge 0\),但是开根号以后 \(\cos x\) 在 \((0,\pi)\) 区间上不是恒正的,所以提出来以后,\(\cos x\) 要加绝对值。即

\begin{align*}\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^3x}|\cos x|dx&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{3}{2}}x\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin^{\frac{3}{2}}x\cos xdx\\ &=\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x\Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\\ &=\frac{4}{5}\end{align*}