变上限积分及其导数(微积分基本定理I)

变上限积分,将导数与积分联系起来,这就是微积分基本定理(I)。另一个微积分基本定理,是牛顿-莱不尼兹定理,我们下一节再讲。

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1,速度与路程:我们之前导出导数定义的时候,就知道 \(s'(t)=v(t)\),而在导出定积分定义的时候,\[\int_a^bv(t)dt=s(b)-s(a)\]

从这里我们看到了导数与积分之间的联系:区间上的定积分等于原函数在端点处的值之差。现在我们来证明这样的结论。

2,变上限积分:若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,定义函数

\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\]我们称这样的积分为变上限积分。

对于这样变上限积分,我们有

3,定理(微积分基本定理I):若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,那么\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\] 在区间 \([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 内可导, 且 \(F'(x)=f(x)\),也就是说,变上限积分是函数的一个原函数。

证明:因为 \begin{align*}F(x+h)-F(x)&=\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt\\ &=\int_x^{x+h}f(t)dt=f(\xi)h\end{align*}

最后一个等式我们应用了积分中值定理,这里 \(\xi\in(x,x+h)\)。当 \(h\to 0\),

\[\lim_{h\to 0}(F(x+h)-F(x))=\lim_{h\to 0}f(\xi)h=0\]

所以 \(F(x)\) 连续。又

\[F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\xi)h}{h}=\lim_{h\to 0}f(\xi)=f(x)\]这是因为 \(\xi\in(x,x+h)\),所以当 \(h\to0\) 时,\(\xi\to x\)。这就证明了定理。

例1:求 \(F(x)=\int_0^x\sqrt{1+t^2}dt\) 的导数。

解:由变上限积分的导数,我们知道 \[F'(x)=\sqrt{1+x^2}\]

例2:设 \(\displaystyle F(x)=\int_1^{x^4}\sec tdt\),求 \(F'(x)\)。

注意,这里我上限不是 \(x\) ,而是 \(x^4\),所以不能直接应用变上限积分的导数。需要用到复合函数的求导法则。

解:我们设 \(F(u)=\int_1^u\sec tdt, u=x^4\),则

\[F'(x)=\frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx}=F'(u)u'(x)=\sec u \cdot 4x^3=4x^3\sec x^4\]

4,一般的变上限积分的导数:由定积分的性质与定义,一般地,我们有

(1)\(\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)dt\),则 \(F'(x)=f(x)\);

(2)\(\displaystyle F(x)=\int_a^{\phi(x)}f(t)dt\),则 \(F'(x)=f(\phi(x))\phi'(x)\);

(3)\(\displaystyle F(x)=\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt\),则 \(F'(x)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\);

我们证明最后一个。

证明(3):\[F(x)=\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt+F(x)+\int_{\psi(x)}^{a}f(t)dt=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt+F(x)-\int_{a}^{\psi(x)}f(t)dt\]

然后分别应用复合函数求导法则即可。