利用对称性计算定积分

利用定积分的换元法,我们可以得到一种比较有用的求定积分的方法:利用对称性求积分。

笔记下载:利用对称性计算定积分

1,定理(利用对称性求积分):假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则

(1)若 \(f(x)\) 是奇函数 \(\Longrightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\);

(2)若 \(f(x)\) 是偶函数 \(\Longrightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。

证明:因为 \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\]

令 \(t=-x\),则 \(dx=-dt, x=-a\) 时,\(t=a, x=0\) 时,\(t=0\),所以

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_a^0f(-t)(-dt)=\int_0^af(-t)dt\]

(1)若 \(f(x)\) 是奇函数, \(f(-t)=-f(t)\),

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_0^af(-t)dt=-\int_0^af(t)dt=-\int_0^af(x)dx\]最后一个等式是因为积分与变量无关。从而

\begin{align*}\int_{-a}^{a}f(x)dx&=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=\int_0^af(x)dx-\int_0^af(x)dx=0\end{align*}

(2)若 \(f(x)\) 是奇函数, \(f(-t)=f(t)\),

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_0^af(-t)dt=\int_0^af(t)dt=\int_0^af(x)dx\]

所以

\begin{align*}\int_{-a}^{a}f(x)dx&=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=\int_0^af(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=2\int_0^af(x)dx\end{align*}

例1:求积分 \(\displaystyle\int_{-2}^2(x^6+1)dx\)。

解:因为 \(x^6+1\) 是偶函数,所以

\begin{align*}\int_{-2}^2(x^6+1)dx&=2\int_{0}^2(x^6+1)dx=2\left(\frac{x^7}{7}+x\right)\Big|_0^2\\ &=\frac{256}{7}+4=\frac{284}{7}\end{align*}

例2:求积分 \(\int_{-1}^{1}\frac{x^2\tan x}{x^4+x^2+1}dx\)。

解:这个被积函数的原函数是没有办法求出来的,但是因为是对称区间上的积分,可以考虑函数的奇偶性。

因为\(x^2\) 为偶函数,\(\tan x\) 为奇函数,所以分子为奇函数;显然分母为偶函数,所以被积函数为奇函数,因而积分为 \(0\),即

\[\int_{-1}^{1}\frac{x^2\tan x}{x^4+x^2+1}dx=0\]

例3:求积分 \(\int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{x^6+1}dx\)。

解:因为被积函数为奇函数,所以积分为 \(0\),即

\[\int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{x^6+1}dx=0\]