旋转轴为其它直线时的旋转体的体积

我们同样利用定积分的思想,来推导旋转轴为其它直线时,旋转体的体积。

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1, \(y=f(x),x=a,x=b, y=c\) 所围成的图形绕 \(y=c\) 旋转,

与之前的推导完全一样,我们只需要注意到,任何一点 \(x\) 处,旋转出来的圆盘的半径为 \(f(x)-c\),所以绕 \(x\) 轴旋转的体积为

\[V=\int_a^b\pi (f(x)-c)^2dx\]

(2)\(y=f(x),x=a,x=b, y=0\) 所围成的图形绕 \(x=d\) 旋转,

这时候,圆桶的底部半径为 \(|x-d|\),这里要加绝对值,是因为面积为正数。同样的推导,我们得到体积为

\[\int_a^b2\pi (x-d)f(x)dx\]

例1:求由 \(y=x-x^2, y=0\) 所围成的图形分别 绕 \(x=2\) 和 \(y=-1\) 旋转所得的体积。

解:\(y=x-x^2, y=0\) 的交点为 \((0,0), (1,0)\)。平面区域的图形为

(1)绕 \(y=-1\) 旋转。注意平面区域旋转出来的立体,是上曲线绕出来的体积减去下曲线绕出来的体积。我们用切片法来求,

\begin{align*}V&=\int_0^1\pi\left((x-x^2-(-1))^2-(0-(-1))^2\right)dx \\ &=\int_0^1\pi(x-x^2+1)^2dx-\pi\\ &=\pi\int_0^1(x^4-2x^3-x^2+2x+1)dx-\pi\\ &=\pi\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Big|_0^1-\pi\\ &=\frac{5\pi}{12}\end{align*}

(2)绕 \(x=2\) 旋转。我们用圆桶法来求,半径为 \(2-x\)(因为 \(x<2\)),

\begin{align*}V&=\int_0^12\pi (2-x)(x-x^2)dx=2\pi \int_0^1(2x-3x^2+x^3)dx\\ &=\left(x^2-x^3+\frac{x^4}{4}\right)\Big|_0^1=\frac{\pi}{2}\end{align*}

需要注意的是,利用圆桶法求旋转体的体积时,如果有上、下曲线,也需要用上曲线绕出来的体积,减去下曲线绕出来的体积。