分部积分法

分部积分法对应乘法的求导公式。适用于两个函数的乘积的积分。

1,由乘法的求导公式\((uv)’=u’v+uv’\) 可以得到积分的分部积分公式,

\[\int(uv)’dx=\int u’v+\int uv’\quad\Longrightarrow\quad uv=\int u’v+\int uv’\quad\Longrightarrow\int uv’dx=uv-\int u’vdx\]

利用分部积分公式,我们可以求出一些函数乘积的积分。

2,幂函数与三角函数、指数函数的积:这时候,我们令幂函数为 \(u\),而指数函数或者三角函数为 \(v’\),这是因为指数函数的原函数是它自身,三角函数的原函数还是三角函数。而幂函数每次求导都会降阶,所以这样设置的话,计算起来会比较简便。

例1,求\(\displaystyle\int xe^x dx, \int x^2\sin x dx\)

解:(1)因为 \(e^x\) 的积分就是它自己,所以令\(u=x\),\(e^x=v’\),\(v=e^x\),

\[\int xe^xdx=xe^x-\int 1\cdot e^xdx=xe^x-e^x+C\]

(2)令\(u=x^2\),\(v’=\sin x\),\(v=\cos x\),

\begin{align*}\int x^2\sin xdx&=-x^2\cos x-\int 2x(-\cos x)dx\\& =-x^2\cos x +2x\sin x-2\int 1\cdot\sin xdx\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{align*}

3,幂函数与对数函数、反三角函数的乘积。这时候令幂函数为 \(v’\),这是因为对数函数与反三角函数的原函数我们不知道,但是它们的导数都会与幂函数有某些关系。这样设置以后,通过一次分部积分,积分会变得更简单,更好积分一些。

例2a,求\(\displaystyle\int x\ln xdx\)

解答:\(\displaystyle=\frac{1}{2} x^2\ln x- \int \frac{1}{2} x^2 \cdot\frac{1}{x} dx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =\frac{1}{2} x^2\ln x – \int \frac{1}{2} xdx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =\frac{1}{2} x^2\ln x – \frac{1}{4} x^2+C\)

例3,求\(\displaystyle\int \arctan xdx\)

解答:\(\displaystyle=\int 1\cdot \arctan xdx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =x \arctan x-\int \frac{x}{1+x^2} dx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =x \arctan x-\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+C\)

4,三角函数与指数函数的积 (回复积分)。因为三角函数的原函数是三角函数,指数函数的原函数是指数函数,所以不管怎么设置,积分过后还是这种形式。但是通过多次分部积分以后,会回到原来的形式,这时候,通过移项,就可以求出原来的积分。

例3,\(\displaystyle\int e^x \sin x dx=e^x\sin x-\int e^x\cdot\cos x dx\)

解答:=\(\displaystyle e^x \sin x -\left(e^x\cdot\cos x-\int e^x\cdot(-\sin x)\right)dx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =e^x \sin x-\left(e^x\cos x-\int e^x\cdot(-\sin x)\right)dx\)

\(\displaystyle\quad\ \ =e^x\sin x-e^x\cos x -\int e^x \sin xdx\)

\(\displaystyle\Longrightarrow2\int e^x\sin x dx=e^x\sin x-e^x\cos x+C\)

\(\displaystyle\Longrightarrow \int e^x\sin x dx=\frac{1}{2} e^x \sin x- \frac{1}{2} e^x\cos x+C\)