隐函数求导法与对数求导法

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1,隐函数求导法:隐函数是指是方程 \(F(x,y)=0\) 给出的 \(y\) 与\(x\) 之间的函数关系。

隐函数求导的基本方法是:对方程两边对 \(x\) 求导,求导过程中,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数(或者中间变量),然后利用方程解出 \(y’\)。

例1:设 \(y^2-x^2-\sin(xy)=0\),求 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)。

解:方程两边对 \(x\),求导,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数,则

\begin{align*}&\qquad 2y\frac{dy}{dx}-2x-\cos(xy)(y+x\frac{dy}{dx})=0\\ &\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}\cdot(2y-x\cos(xy))=2x+y\cos(xy)\\ &\Rightarrow \quad\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y\cos(xy)}{2y-x\cos(xy)}\end{align*}

例2,设 \(x^3+y^3-9xy=0\),求 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)。

解:两边对 \(x\) 求导,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数,

\begin{align*}&\qquad 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-9y-9x\frac{dy}{dx}=0\\ &\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}(3y^2-9x)=9y-3x^2\\ &\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{9y-3x^2}{3y^2-9x}\end{align*}

2,对数求导法:将函数两边取对数,再利用隐函数求导法,将方程两边对 \(x\) 求导,从而求得函数导数的方法。这种方法特别适用于幂指函数,以及乘、除、幂各项特别多的函数。我们来看例子。

例3,求函数 \(y=x^{\sin x}\) 的导数。

解:这是一个幂指函数,两边取对数,就可以化成普通的函数了。

\[\ln y=\ln\left(x^{\sin x}\right)=\sin x\ln x \]

两边对 \(x\) 求导,

\begin{align*}&\qquad \frac{1}{y}y’=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\\ &\Rightarrow\quad y’=y\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)\\ &\Rightarrow \quad y’=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)\end{align*}

例4,设 \(\displaystyle y=\frac{\sqrt[4]{3x+5}\sqrt[6]{6x^2-1}}{\sqrt[3]{2x-3}\sqrt[5]{5x+1}}\),求\(\frac{dy}{dx}\)。

解:这个函数是普通的函数,但是乘、除、幂各项太多,直接求导太繁琐,但是应用对数求导法能很大简化计算。

两边取对数,

\begin{align*}\ln y&=\ln \frac{\sqrt[4]{3x+5}\sqrt[6]{6x^2-1}}{\sqrt[3]{2x-3}\sqrt[5]{5x+1}}\\ &=\frac{1}{4}\ln (3x+5)+\frac{1}{6}\ln (6x^2-1)-\frac{1}{3}\ln(2x-3)-\frac{1}{5}\ln(5x+1)\end{align*}

两边对 \(x\) 求导,

\begin{align*}\frac{1}{y}y’&=\frac{1}{4}\frac{3}{3x+5}+\frac{1}{6}\frac{12x}{6x^2-1}-\frac{1}{3}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{5}\frac{5}{5x+1}\\ &=\frac{3}{4(3x+5)}+\frac{2x}{6x^2-1}-\frac{2}{3(2x-3)}-\frac{1}{5x+1}\end{align*}

所以

\begin{align*}y’&=y\left(\frac{3}{4(3x+5)}+\frac{2x}{6x^2-1}-\frac{2}{3(2x-3)}-\frac{1}{5x+1}\right)\\ &=\frac{\sqrt[4]{3x+5}\sqrt[6]{6x^2-1}}{\sqrt[3]{2x-3}\sqrt[5]{5x+1}}\left(\frac{3}{4(3x+5)}+\frac{2x}{6x^2-1}-\frac{2}{3(2x-3)}-\frac{1}{5x+1}\right)\end{align*}