极限求法(四):夹挤原理

夹挤原理也叫夹逼原理或者三明治定理。因为从图像上看,很像一个三明治。我们把它叙述如下 :

夹挤原理(三明治定理):若在 \(x=a\) 的某个领域内, \(g(x)\le f(x)\ne h(x)\) 并且 \(\lim_{x\to a}g(x)=A, \lim_{x\to a}h(x)=A\), 则 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\)。

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利用夹挤原理求极限,常用的方法是利用函数的有界性或者对函数作微小的变形,得出函数的一个上界控制函数一个下界控制函数,而上、下界函数的极限在该点的极限是一样的,就能求出函数在该点的极限。

例1:求极限 \(\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}\)。

解: 因为 \[| \sin\frac{1}{x} |\le 1\]所以

\[| x\sin\frac{1}{x} |\le |x|\] 因为 \(x\to0\) 时, \(|x|\to 0\),所以

\[ \lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x} =0\]

例2:求极限 \[\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\]

解:因为 \[ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \]

也就是说 \[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \]

因为不等式两边的极限都为 \(1\),所以原极限为 \(1\)。