极限求法(五):单调有界准则与递推式极限

单调有界准则:单调有界数列必有极限。这个极限存在准则虽然给出了极限存在的条件,但是它没有给出如何得到极限的值。但是对于递推式极限来说, 我们还是能够求出极限的。

笔记下载:单调有界定理与递推式极限

对于递推式极限,我们的难点不在于能不能得到极限值,而是证明极限存不存在。这时候,我们就要利用单调有界准则来证明极限存在。

证明极限存在,分成两个部分:单调性和有界性。即我们要证明数列是单调的,并且找出它的上、下界。一旦证明了数列是单调有界的,利用递推式,很容易就能求出极限的值。

事实上,如果数列是单调增加,我们只需要找出它的上界,因为下界是第一项;如果数列是单调减少,我们只需要找出它的下界,因为上界是它的第一项。

例1:设 \(x_1=\sqrt{2}, x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}, x_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \cdots\),求 \(\lim_{n\to\infty}x_n\)。

解:很明显,数列是单调增加的。因为后一项总是在前一项的基础上多了一项正数。

我们现在来证明它是有界的。我们把数列写成递推式 \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\)。我们用归纳法来证明它是有上界的。

因为 \(0<x_1=\sqrt{2}<2\),我们假设 \(x_n<2\)成立, 那么 \[x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt{2+2}=2\]所以\(x_{n+1}<2\),由归纳法假设,\(x_n<2\) 对于所有 \(n\) 成立。

从而,根据单调有界准则,这个数列是有极限的。假设它的极限为 \(A\),即 \(\lim_{n\to \infty}x_n=A\),代入到递推式,注意到 \(x_{n+1}\) 的极限也是 \(A\),我们有

\[A=\sqrt{2+A}\]两边平方,我们得到 \[A^2=A+2\]解此方程,我们得到 \(A=2, A=-1\),因为数列有下界 \(0\), 所以 \(A=-1\) 舍去,也就是 \(A=2\),即 \[\lim_{n\to\infty}x_n=2\]

例2:设 \(0<x_0<1\),\(x_{n+1}=x_n(2-x_n)\),求 \(\lim_{n\to\infty}x_n\)。

解:这个数列可以先证明它是有界的。因为 \(0<x_0<1\),我们假设 \(0<x_n<1\) 成立,那么\(x_{n+1}=x_n(2-x_n)>0\),因为两项都是正的。我们来证明它小于 \(1\)。\[x_{n+1}=x_n(2+x_n)=2x_n-x_n^2=-(x_n^2-2x_n)= -(x_n^2-2x_n+1)+1=1-(x_n-1)^2<1 \]所以由归纳法 \(0<x_n<1\) 对所有 \(n\) 成立。

现在我们来证明它是单调的。因为 \(<0x_n<1\),

\[x_{n+1}-x_n=x_n(2-x_n)-x_n=x_n(2-x_n-1)=x_n(1-x_n)>0\]所以 \(x_n<x_{n+1}\),数列是单调增加的。从而数列单调有界,它有极限。我们设此极限为 \(A\),代入递推式,得到 \[A=A(2-A)\]解此方程,我们得到 \(A=0, A=1\)。因为数列单调增加,所以 \(A=1\)。也就是

\[\lim_{n\to\infty}x_n=1\]