极限求法(二):洛必达法则

洛必达法则是应用最广泛的一种求未定式极限的方法,理论上,任何未定式极限都可以用洛必达法则来求。当然,洛必达法则也有失效的时候,有些未定式极限用它来求也未必是最佳方法。但毫无疑问,它是求未定式极限的首选方法。

以下的文字内容与视频会稍有出入,但大体的内容是差不多的。

笔记下载:洛必达法则

1,洛必达法则的基本形式:当 \(f(x),g(x)\) 都趋于 \(0\) 或者都趋于 \(\infty\) 时,也就是未定式 \(\frac{0}{0}\)型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)型, 极限 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}\]也说是说,函数之比的极限,等于它们导数之比的极限。或者说,求商的极限的时候,它的极限等于分子分母分别求导以后的极限。这里要注意的一点是,只有未定式极限才可以这样来求,不是未定式极限,需要用极限的运算法则来求。

这两种情形称为基本未定式极限,我们可以直接应用洛必达法则来求。例如

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x -x}{x^3}{(\frac{0}{0})\atop =}\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}\]最后一步,因为不再是未定式极限,所以不能再用洛必达法则了。

又如,\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^x+x}{x^x-x} {(\frac{\infty}{\infty})\atop =} \lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1}{e^x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^x}=1\]

其它未定式极限,需要先化成基本的未定式极限,然后再用洛必达法则来求。

2,\(\infty-\infty\)型,可以利用通分,有理化等方式,化成基本未定式。例如\[\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)&=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x-x}{x\sin x} \\ &{(\frac{0}{0})\atop =}\lim_{x\to0^+}\frac{\cos x -1}{\sin x+x\cos x} \\ &{(\frac{0}{0})\atop =} \lim_{x\to 0^+}\frac{-\sin x}{2\cos x-x\sin x}=0 \end{align*}\]

3,\(0\cdot \infty\)型未定式,可以将其中一项放到分母去,就可以变成基本未定式。例如\[\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}x\ln x&=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\ &{(\frac{0}{0})\atop =} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\ &=\lim_{x\to0^+}(-x)=0\end{align*}\]

4,\(0^0, \infty^0, 1^{\infty}\)这三种情形,都是幂指函数的形式。对于幂指函数,我们通常的作法是先取对数,再取 \(e\) 底,将它化成普通的指数函数的复合函数的情形,它的指数部分是两个函数的乘积(可以参考文章 如何求幂指函数的极限与导数?)。例如

\[\lim_{x\to0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to0^+}x\ln x}\] 而从前面的例子我们知道\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=0\] 所以原极限 \[\lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1\]