极限求法(三):两个重要极限

两个重要极限是指的这两个极限 \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]这两个极限之所以重要,是因为它们是推导三角函数的指数函数求导公式的关键极限。

以下文字内容与视频可能有出入,但大体上是差不多的。

笔记下载:两个重要极限

我们利用两个重要极限求其它未定式极限,关键是如何将未定式极限化成两个重要极限的形式。

对于第一个重要极限 \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\]我们要做的是利用三角函数恒等式、三角函数之间的关系等等,将未定式化成所需要的形式。我们来看例子。

例1,求极限\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} \]

解:因为 \(1-\cos2x=2\sin^2x\),所以 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\),所以原极限为 \[\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2\cdot 4}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\]

例2,求极限 \[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x} \]

解:我们知道 \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\),所以\[\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}&=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{\sin^2x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\cos x\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{\sin^2x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2x}=\lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{2(\frac{x}{2})^2}{\sin^2x} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{x^2}{2\sin^2x} =\frac{1}{2} \end{align*}\]中间我们还是用到了等式 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\) 。

当然,对于三角函数来说,变形的方法还有很多很多,我们需要多练习,以便知道哪种方法更快更有效。

第二个重要极限为\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\] 我们利用这个极限来求 \(1^{\infty}\) 型的未定式极限, 通常的做法是,将幂指函数 \(f(x)^{g(x)}\)写成 \([(1+\alpha)^{1/\alpha}]^{\alpha g(x)}\) 的形式,方括号里面部分就是 \(e\),我们只需要处理方括号外面的指数部分就可以了。

例3:求极限 \[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}\]

解:我们对函数进行变形

\[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} &= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1+2}{x^2-1}\right)^{x^2} = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{x^2} \\&= \lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{\frac{x^2-1}{2}}\right]^{x^2\cdot\frac{2}{x^2-1}}=e^2 \end{align*}\]这是因为方括号里面部分的极限是 \(e\),而方括号的指数部分的极限为 \(2\)。

例4:求极限 \[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}\]

解:我们对函数变形

\[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}} &= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1-2}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}} = \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}\\&= \lim_{x\to\infty}\left[\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)^{-\frac{x^2+1}{2}} \right]^{-\frac{2}{x^2+1}\cdot \frac{x-1}{x+1} }=e^0=1\end{align*}\]

因为方括号外面指数部分的极限为 \(0\),所以原极限为 \(e^0=1\)。