极限求法(一):极限的四则运算与初等方法

极限的运算法则是计算极限的基础,每当我们计算极限的时候,我们要先使用极限的运算法则来判定这个极限需不需要使用其它的方法。如果极限的运算法则能够给出极限值,则不需要使用其它的方法,如果运算法则不适用,再考虑使用其它方法。

如果极限运算法则不适用,我们有一些初等的方法可以使用,这些方法包括分解因式、比较无穷大的阶以及有理化等等。

以下的文字部分,不是视频的逐字记录,它与视频内容稍有不同。

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极限的运算法则:设 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),且 \(A,B\) 为有限数,则

  • \(\lim_{x\to a }C\cdot f(x)=C\lim_{x\to a}f(x)=C\cdot A\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x)=A\pm B\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)=A\cdot B\);
  • \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac{A}{B}, \quad B\ne 0\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}f(x)^{\lim_{x\to a}g(x)}=A^B\);
  • 若 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to A}g(x)=B\), 则 \(\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{u\to A}g(u)=B\)。

最后这个法则是复合函数的极限法则,它是在进行极限运算时,可以实行变量代换的依据。

在极限运算法则不能应用时,我们有一些初等的方法可以用来求极限。

一、分解因式。如果 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 是 \(\frac{0}{0}\) 型的极限,即分子分母的极限都是 \(0\) 且都是多项式,那么根据多项式的理论,\(f(x), g(x)\) 都有因式 \(x-a\),所以 \(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x-a)p(x)}{(x-a)q(x)}\),其中 \(p(x),q(x)\) 是分别比 \(f(x),g(x)\) 低一阶的多项式,约去 \(x-a\) 后,就得到 \[\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)} \]我们来看例题。

例1,求极限 \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2+2x-8}{x^2-4}\) 。

解: 我们有\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2+2x-8}{x^2-4} =\lim_{x\to a}\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+4}{x+2}=\frac{3}{2}\]

二、比较无穷大的阶。\(n\to\infty\) 或者 \(x\to \infty\) 时,如果分子分母都是 \(n\) 或者 \(x\) 的代数式时(多项式或者无理式),我们可以比较幂指数的大小来求得极限,将分子分母除以分子或者分母的最高阶幂函数,就可以得到所求的极限,因为低阶的项都趋于 \(0\)。例如

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-5x+1}{2x^3-7x^2+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{2-\frac{7}{x^2}+\frac{3}{x^3}}=\frac{1}{2}\]

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+5x+3}{x^3-2x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}}=0\]

三、有理化。有根式,但不能应用极限运算法则时,有理化后化简,可以求得极限。\[\begin{align*}\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})&=\lim_{x\to\infty}\frac{ (\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}) ( \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x} )}{ \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x} }\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{ \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x} }\end{align*}\]

然后比较无穷大的阶,分子分母都除以 \(x\),注意到 \(x=\sqrt{x^2}\),在分母里除进根式,我们得到\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x}{ \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x} } =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{ \sqrt{1+1/x}+\sqrt{1-1/x} }=1\]所以原极限为 \(1\)。

注意到这里是 \(x\to\infty\),我们有等式 \(x=\sqrt{x^2}\) ,如果是 \(x\to-\infty\),那么 \(x=-\sqrt{x^2}\),则 \[\begin{align*}\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}) &= \lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{ \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x} }\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{- \sqrt{1+1/x}-\sqrt{1-1/x} }\\ &=-1\end{align*} \]