有理函数积分的部分分式法

有理函数的积分总是可以求出来的。求有理函数的一般方法为部分分式法。就是有理函数可以分解成简单分式之和,而这些简单分式总是可以求积分的。

笔记下载:有理函数的积分(部分分式法)

1,有理函数:\(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\),其中 \(P(x),Q(x)\) 都是多项式。

2,真分式:\(P(x)\) 的阶小于 \(Q(x)\) 的阶,那么有理函数\(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 称为真分式。

如果有理函数不是真分式,可以应用多项式除法将假分式化成一个多项式与一个真分式之和。

3,部分分式:若有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 为真分式,则它可化成四类简单分式之和: \(\displaystyle \frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^m},\frac{Bx+D}{x^2+px+q}, p^2-4q<0, \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^m}, p^2-4q<0\)。

(1)若 \(Q(x)\) 有单因子 \(x-a\),则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)的部分分式中含有项 \(\displaystyle\frac{A}{x-a}\);

(2)若 \(Q(x)\) 有因子 \((x-a)^m\),则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有 \(m\) 项 \[\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}\]

(3)若 \(Q(x)\) 有因子 \(x^2+px+q, p^2-4q\),则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有一项 \(\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\);

(4)若 \(Q(x)\) 有因子 \((x^2+px+q)^m\),则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有 \(m\) 项\[\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^m}\]

例1,求积分\(\displaystyle\int\frac{x^3}{x+5}dx\)。

解:因为分子的阶比分母的阶高,所以先应用多项式除法将其化成真分式,

\[\frac{x^3}{x+1}=x^2-5x+25-\frac{125}{x+5}\]

所以积分为

\begin{align*}\int\frac{x^3}{x+1}dx&=\int\left(x^2-5x+25-\frac{125}{x+5}\right)dx\\ &=\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+25x-125\ln|x+5|+C\end{align*}

例2,求积分 \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx\)。

解:因为分母有因子 \((x+1)^2\) 和 \(x-1\),所以

\[\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}\]

通分,令两边的分子相等,我们得

\[A(x-1)(x+1)+B(x-1)+C(x+1)^2=x^2+1\]

我们可以将左边展开,比较等式两边同阶次的系数,得到一个方程组,求解这个方程组,从而求出 \(A,B,C\)。但是更简便的方式是直接用 \(x\) 的一些值代入等式,直接求出这些未知常数。

在等式两边令 \(x=1\),得到

\[4C=2\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}\]

令 \(x=-1\),得\[-2B=2\quad\Rightarrow \quad B=-1\]

上面取这两个数字,是因为 \(x-1\) 和 \(x+1\) 是 \(Q(x)\) 的因式,取这两个值可以让上面的等式两边各只剩一项。

现在没有特别的值可以取,就取最简单的数字,令 \(x=0\),得

\[-A-B+C=1\quad\Rightarrow\quad -A+1+\frac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}\]

所以积分为

\begin{align*}\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx&=\int\left(\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln|x-1|+C\\ &=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C\end{align*}

例3,求积分 \(\displaystyle\int\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}\)。

解:我们先对被积函数作部分分式分解。

\[\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}\]

通分以后,令两边的分子相等,得到

\[A(x-1)(x^2+2x+2)+B(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x-1)^2=x\]

令 \(x=1\),得到 \(5B=1\),所以 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\)。

令 \(x=0\),得到 \(-2A+2B+D=0\),将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入,得到

\[2A-D=\frac{2}{5}\]

令 \(x=2\),得到 \(10A+10B+2C+D=2\),将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入,得到\[10A+2C+D=0\]

令 \(x=-1\),得到 \(-2A+B-4C+4D=-1\),将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入,得到

\[2A+4C-4D=\frac{6}{5}\quad \Rightarrow\quad A+2C-2D=\frac{3}{5}\]

所以得到方程组

\begin{cases}2A-D=\frac{2}{5}\\ 10A+2C+D=0\\ A+2C-2D=\frac{3}{5}\end{cases}

解此方程组,我们得到

\[A=\frac{1}{25}, C=-\frac{1}{25}, D=-\frac{8}{25}\]

所以,

\begin{align*}\int\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}&=\int\left(\frac{1}{25}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{x+8}{x^2+2x+2}\right)dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{25}\int\frac{1}{2}\frac{2x+16}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\int\frac{2x+2+14}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx \\ &\quad +\frac{14}{50}\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\ln(x^2+2x+2)\\ &\quad+\frac{7}{25}\int\frac{1}{(x+1)^2+1}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\ln(x^2+2x+2)\\&\quad+\frac{7}{25}\arctan (x+1)+C\end{align*}