最大最小值问题

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1,最大最小值问题的求法:(1)求出所有极值;(2)求出函数在端点处的值;(3)比较极值与端点处的值,最大的为最大值,最小的为最小值。

另外,如果区间上只有一个极值(极大值和极小值加起来只有一个),则它必定是最值。

例1,求函数 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) 在区间 \([-2,3]\) 上的极值。

解:\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\),令 \(f'(x)=0\),得到两个点 \(x=-1,2\)。

又\(f^{\prime\prime}(x)=12x-6\),而 \(f^{\prime\prime}(-1)=-18<0\),所以 \(x=-1\) 是极大值点,极大值为 \(f(-1)=-2-3+12+1=8\)。

\(f^{\prime\prime}(2)=18>0\),所以 \(x=2\) 是极小值点,极小值为 \(f(2)=-19\)。

两端点处的值:\(f(-2)=-3, f(3)=-8\),所以区间 \([-2,3]\) 上的最大值 为 \(f(-1)=8\),最小值为 \(f(2)=-19\)。

最大最小值通常是以应用题的方式出现。我们来看一个例子。

例2,面积为 \(1200cm^2\) 的薄片,制成底为正方形无盖的盒子,问边长及高各为多少时,体积最大?

解:设边长为 \(x\),高为 \(h\) ,则体积为

\[V=x^2h\]

又因为表面积固定,为 \(1200cm^2\),而无盖的盒子的表面积为\[A=x^2+4xh=1200\]

所以得到 \(h=\frac{1200-x^2}{4x}\),代入到体积公式里去,得到

\[V=\frac{1200-x^2}{4x\cdot x^2}=300x-\frac{1}{4}x^3\]

它的一阶导数为: \(V'(x)=300-\frac{3x^2}{4}\),令它等于 \(0\),得到 \(x^2=400\),也就是 \(x=20\) (\(x=-20\) 舍去,因为边长不会小于 \(0\))。而

\[f^{\prime\prime}(x)=-\frac{3}{2}x, \quad f^{\prime\prime}(20)=-30<0\]

所以 \(V(20)=4000\) 是极大值,因为这是唯一的极值,所以它就是最大值。