导数的定义与切线的方程

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1,导数和定义:函数在一点 \(x_0\) 处的导数定义为

\begin{align*}f'(x_0)&=\lim{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ &=\lim_{\Delta x=0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{align*}

这几个定义都是一样的,只是写法不一样而已。

2,定理(可导的必要条件):函数在一点 \(x=x_0\) 处可导 \(\quad\Rightarrow\quad\) 函数在\(x=x_0\) 处连续。

一句话总结就是:可导必连续。也就是说,如果知道函数可导,那么它首先是连续的。反过来就不一定对,也就是说,函数连续不一定可导。

3,函数在一点处的切线、法线方程:

(1)切线方程:函数在点 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程为 \[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]

(2)法线方程:函数在点 \((x_0,y_0)\) 处的法线方程为 \[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\]

例1,设函数 \(\phi(x)\) 在点 \(x=a\) 处连续, \(f(x)=(x-a)\phi(x)\), 求 \(f'(a)\)。

解:很多同学上来就直接对函数求导,这是不行的,因为我们不知道 \(\phi(x)\) 是不是可导。所以只能应用函数导数的定义,

\begin{align*}f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\phi(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a}\phi(x)\\ &=\phi(a)\end{align*}

最后一个等式是因为 \(\phi(x)\) 是连续的,所以它的极限值等于函数值。

例2,求曲线 \(y=x^4-3\) 在点 \((1,-2)\) 处的切线与法线方程。

解:因为 \(y’=4x^3\),所以 \(y'(1)=4\)。切线方程为

\[y-(-2)=4(x-1)\quad \Rightarrow\quad y=4x-6\]

法线方程为

\[y-(-2)=-\frac{1}{4}(x-1)\quad \Rightarrow\quad y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\]