导数的四则运算与基本求导公式

导数的四则运算与求导的基本公式都是微积分的基本内容,每个人应该是很熟悉才行。这里我们将这些基本的公式列举一下。

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1,导数的四则运算法则:

(1)\(\displaystyle\left[f(x)\pm g(x)\right]’=f'(x)\pm g'(x)\);

(2)\(\displaystyle\left[f(x)\cdot g(x)\right]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\);

(3)\(\displaystyle\left[\frac{f(x){ g(x)}\right]’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)。

2,基本求导公式:

(1)\(C’=0\);

(2)\((x^n)’=nx^{n-1}\);

(3)\((\sin x)’=\cos x\);

(4)\((\cos x)’=-\sin x\);

(5)\((\tan x)’=\sec^2x\);

(6)\((\cot x)’=-\csc^2x\);

(7)\((\sec x)’=\tan x\sec x\);

(8)\((\csc x)’=-\cot x\csc x\);

(9)\((e^x)’=e^x\);

(10)\((a^x)’=a^x\ln a\);

(11)\(\displaystyle(\ln x)’=\frac{1}{x}\);

(12)\(\displaystyle(\log_ax)’=\frac{1}{x\ln a}\);

(13)\(\displaystyle(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\);

(14)\(\displaystyle(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\);

(15)\(\displaystyle(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}\);

(16)\(\displaystyle(\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\);

有了这些基本公式以及求导的四则运算以后,就可以求一些函数的导数了。

例1:求下列函数的导数。

\begin{array}{ll}(1) y=\sin x\cdot\ln x & (2) y=\cos x\log_2x\\ (3) y=x^3\arctan x-\sin x& (4) \displaystyle y=2^x3^x+\frac{\sin x}{\ln x}\end{array}

解:(1)\begin{align*}y’&=(\sin x)’\ln x+\sin x(\ln x)’\\ &=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\end{align*}

(2)\begin{align*}y’&=(\cos x)’\log_2x+\cos x(\log_2x)’\\ &=-\sin x\log_2x+\frac{\cos x}{x\ln 2}\end{align*}

(3)\begin{align*}y’&=(x^3)’\arctan x+x^3(\arctan x)’-(\sin x)’\\ &=3x^2\arctan x+\frac{x^3}{1+x^2}-\cos x\end{align*}

(4)\(y\) 可以改写成 \(y=(2\cdot 3)^x+\frac{\sin x}{\ln x}=6^x+\frac{\sin x}{\ln x}\),所以

\begin{align*}y’&=6^x\ln 6+\frac{(\sin x)’\ln x-\sin x(\ln)’}{\ln^2x}\\ &=6^x\ln 6+\frac{\cos x\ln x-\frac{\sin x}{x}}{\ln^2x}\\ &=6^x\ln 6+\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{}\end{align*}