定积分的定义与计算

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函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分定义为和式的极限

\[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{\infty}f(\xi_i)\Delta x_i\]

其中 \(\Delta x=\max{\Delta x_i}\), \(\xi_i\in (x_{i-1}, x_i)\), \(a=x_0,x_1,\cdots, x_n=b\) 是区间的一个划分。也就是说,能够写成以上这种和式的极限的量,都是一个定积分。

因为有牛顿-莱不尼兹公式(或者微积分基本定理),\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a),\]其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。所以求定积分差不多就是一个求不定积分或者原函数的问题,再由牛顿-莱不尼兹公式,就可以得到定积分的值。

但是,定积分也有一点点不定积分所没有的计算方法或者技巧,我们简单介绍一下。

第一点,换元必换限, 不必回代原来变量。这是与不定积分所不同的地方。我们在使用换元法求定积分的时候,不必回代原来的变量,直接利用新的上下限,代入牛顿-莱不尼兹公式即可。我们看一个例子。

例1:求定积分

\[\int_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx\]

解:做代换 \(u= \sqrt{2x+1} \),则 \(x=\frac{u^2-1}{2}, dx=udu\), \(x=0,u=1; x=4,u=3\),所以

\[\begin{align*}\int_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx&=\int_0^3\frac{ \frac{u^2-1}{2} +2}{u}udu=\int_0^3(\frac{1}{2}u^2+\frac{3}{2})du\\ &=(\frac{1}{6}u^3+\frac{3}{2}u)\Big|_1^3=\frac{22}{3}\end{align*}\]

从这里看到,我们换元的时候 ,积分上下限也换了。在最后求出新的变量下的原函数后,直接以新变量的 上下限代入就可以得到原积分的值,而不必代回原来的变量。当然,你也可以求出原来变量下的原函数,再代入原来变量的上下限。不过这样的话就多了一个步骤。

第二点,奇函数在对称区间上的积分为 \(0\)。这个结论还有另外一半,就是偶函数在对称区间上的积分,等于两倍正数部分的积分。只不过,偶函数在对称区间上的积分,我们能直接用到的机会不多,只在一些特殊的情形我们会用到,这里我们不展开讲了。

奇函数在对称区间上的积分为 \(0\),这个性质很有用,特别在一些函数看起来找不到原函数的情形下,只要积分区间是对称的,就可以考虑利用这个性质,我们来看一个例子。

例2:求积分\[\int_{-2}^2\frac{\sin x}{x^2+\cos x}dx\]

解:这样的积分,要想利用牛顿-莱不尼兹公式来求它的值,基本上是不可能的事。因为我们没有办法求得出它的原函数。但是很显然,这个函数是个奇函数。因为 \(x^2,\cos x\) 都是偶函数,而 \(\sin x\) 是奇函数,从而被积函数是奇函数,根据对称区间上奇函数积分为零的结论, 我们有

\[ \int_{-2}^2\frac{\sin x}{x^2+\cos x}dx =0.\]

最后一点,注意函数的值。我们在求不定积分的时候,我们并不太在意函数的取值问题,例如开根号,我们总是默认开出来的函数是正的,但是在定积分,这是不一定对的。我们在开根号等会产生多种结果的时候,就要注意函数的值,否则会产生错误的结果。我们来看一个例子:

例3:求积分\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}dx\]

分析:我们在根号里提出因子 \(\cos^2x\), 放到根号外面,就变成了 \(\cos x\),这个没有问题,因为 \(\cos x\) 在 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) 上是正的。

但是剩下的部分,是 \(\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{\sin^2x}\),很多同学直接就开出来 \(\sin x\),然后结论就是 \(0\)(奇函数嘛,当然直接计算也是一样)。但是我们有没有注意到,这个被积函数是正的?正的函数积分怎么会变成 \(0\)?这不显然跟定积分的性质冲突嘛。问题就在于没注意到函数 \(\sin x\) 在这个区间上有正有负。

我们来看正确的解法。

解:\[\begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sqrt{1-\cos^2x}dx\\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x|\sin x|dx \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\sin xdx\end{align*}\]

最后一个等号我们应用了偶函数在对称区间上的积分为两倍正数部分的积分。这里我们注意到, \(\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{\sin^2x}\)永远是正的,所以开根号的结果,就是它带有绝对值符号。所以它的结果为

\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\sin xdx =\frac{1}{2}\sin^2x|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\]