复合函数求导法与反函数求导法

复合函数的求导法,也称为链式法则。有了复合函数的求导法则,我们基本上可以求出我们所见过的大部分函数的导数了,所以要熟练掌握。而反函数在一点处的导数最难理解,这里我们也举例进行说明。

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1,复合函数求导法:若 \(y=f(g(x))\),则 \(y’=f'(g(x))g'(x)\),这里,第一个函数是将 \(g(x)\) 看成一个整体求导。

或者, \(y=f(u),u=g(x)\),则 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)\]

在开始不熟练的时候,可以用第二个公式。熟练了之后,应该直接应用第一个公式。

如果是更多重复合函数,同样的处理:

\[\left[f(g(h(x)))\right]’=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)\]从最外层的函数一层一层地剥开,直到最后看到自变量。

例1,求函数 \(y=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\) 的导数。

解:\begin{align*}y’&=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}[\sin(\ln(3x^2-2x+1))]’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot [\ln(3x^2-2x+1)]’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{1}{3x^2-2x+1}\cdot(3x^2-2x+1)’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{1}{3x^2-2x+1}\cdot(6x-2)\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{6x-2}{3x^2-2x+1}\end{align*}

2,反函数求导法:若 \(y=f^{-1}(x)\),则

\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

反三角函数的导数公式都可以通过这个公式导出。问题是,在求反函数在某一点处的导数的时候,经常会出现一些困难。

例2:设 \(f(x)=x^6+x^4+x^2+x+1\),求 \([f^{-1}]'(1)\)。

解:我们记 \(y=f^{-1}(x)\),则\(f(y)=y^6+y^4+x^2+1=x\),

\begin{align*}\left[f^{-1}(x)\right]’&=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{6y^5+4y^3+2y}\end{align*}

现在的问题是怎么取值。因为求的导数是 \(x=1\) 时的导数,也就是 \(1=x=f(y)\),所以\(y=0\),所以

\[[f^{-1}]'(1)=1\]