反常积分(广义积分)

反常积分是指无穷区间上的积分或者无界函数的积分。因为这与通常的积分定义不同。反常积分也称为广义积分。

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1,无穷区间上的反常积分:

(1)\(\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^{\infty}\),这里我们记 \(\displaystyle F(\infty)=\lim_{b\to\infty}F(b)\),\(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数;

(2)\(\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_{-\infty}^a\);

(3)\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_{a}^{\infty}f(x)dx\),右边两个积分的定义与前面的定义一样。

我们说第一、二个积分收敛,若右边的极限存在,若极限不存在,我们就说积分发散。我们说第三个积分收敛,仅当右边两个积分都收敛,若其中一个积分发散,我们就说原积分发散。

2,瑕积分(无界函数的反常积分)

(1)若 \(\displaystyle\lim_{x\to b}=\infty\),则 \[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)dx\]

(2)若 \(\displaystyle\lim_{x\to a}=\infty\),则 \[\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)dx\]

(3)若 \(\displaystyle\lim_{x\to c}=\infty, c\in (a,b)\),则 \[\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\]

其中右边两个积分与前两个积分一样定义。

我们说第一、二个积分收敛,若右边的极限存在。我们说第三个积分收敛,仅当右边两个积分都收敛。同样的,我们经常直接记 \[\int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b\]

但是在瑕点处,函数的值是取函数在那一点处的极限值(上限的左极限或者下限的右极限)。

例1,求积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^3}\) 和 \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}\)。

解:(1)\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^3}&=-\frac{1}{2}x^{-2}\Big|_1^{\infty}=\frac{1}{2}\end{align*}

(2)\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}=\ln(x)\Big|_1^{\infty}=\infty\end{align*}

所以积分发散。

例2,求积分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx\)。

解:\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx&=\int_{-\infty}^0\frac{1}{1+x^2}dx+\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx\\ &=\arctan x\Big|_{-\infty}^0+\arctan x\Big|_0^{\infty}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\\ &=\pi\end{align*}

要注意,即使 \(f(x)\) 是奇函数, \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) 也不一定收敛。根据定义,只有两个积分 \(\int_{-\infty}^af(x)dx\) 和 \(\int_a^{-\infty}f(x)dx\) 都收敛时,积分才收敛。这里 \(a\) 可以是任意常数。

例3:求积分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx\)。

解:由反常积分的定义,

\[\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{x}dx=\infty_{-\infty}^0xdx+\int_{0}^{\infty}xdx\]

因为 \(\displaystyle\int_{-\infty}^0xdx=-\infty, \int_{0}^{\infty}xdx=\infty\),两个积分都发散,所以原积分发散。注意到这里的 \(-\infty\) 和 \(\infty\) 是不能相互抵消的。

例4,求积分 \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\)。

解:\begin{align*}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-2(1-x)^{\frac{1}{2}}\Big|_0^1=2\end{align*}

例5,求积分 \(\displaystyle\int_1^4\frac{dx}{(x-2)^{\frac{2}{3}}}\)。

解:这里 \(x=2\) 是函数的瑕点,所以

\begin{align*}\int_1^4\frac{dx}{(x-2)^{\frac{2}{3}}}&=\int_1^2\frac{dx}{\frac{2}{3}}+\int_2^4\frac{dx}{\frac{2}{3}}\\ &=3(x-2)^{\frac{1}{3}}\Big|_1^2+3(x-2)^{\frac{1}{3}}\Big|_2^4\\ &=-3+3\sqrt[3]{2}\end{align*}