参数方程的导数与高阶导数

参数方程的一阶导数比较容易求得,利用公式就可以得到。比较难一点的是它们的高阶导数。

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1,参数方程的导数:若一个参数方程 \(x=\phi(t),y=\psi(t)\) 给出了 \(y\) 与 \(x\) 之间的函数关系,则

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

而它们的二阶及高阶导数,需要转换成关于 \(t\) 的导数。那是因为一阶导数是关于 \(t\) 的函数。

\begin{align*}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\ &=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}\end{align*}

三阶以及三阶以上的导数的求法类似处理。

例1:设 \begin{cases}x=a\cos t\\ y=b\sin t,\end{cases} 求 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:\[\frac{dy}{dx}=\frac{(b\sin t)’}{(a\cos t)’}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t\]

二阶导数为

\begin{align*}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\ &=\frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{a}\cot t\right)\cdot \frac{1}{(a\cos t)’}\\ &=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\cdot \left(-\frac{1}{a\sin t}\right)\\ &=-\frac{b}{a^2}\csc^3 t\end{align*}

例2,设 \begin{cases}x=\frac{t^2}{2}\\ y=1-t,\end{cases} 求 \(\displaystyle\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:一阶导数为

\[\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{t}=-\frac{1}{t}\]

二阶导数为

\begin{align*}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\right)\\ &=\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{t}\right)\cdot\frac{1}{t}\\ &=\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{t^3}\end{align*}