函数的连续性与间断点的类型

1,连续性的定义:我们说函数在一点 \(x=x_0\) 连续是指 \[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]

笔记下载:连续性与间断点

2,极限存在的充分必要条件:\[\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A\quad \Rightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A\]

也就是说,函数在一点处极限存在的充分必要条件是它的左右极限存在且相等。

3,由连续的定义及极限存在的充分必要条件,我们知道,函数在一点连续,实际上有三个条件:

(1)函数在一点 \(x_0\) 处有定义;

(2)函数的左右极限存在且相等;

(3)函数在这一点的极限值等于函数在一点的函数值。

所以只要上面一个条件不满足,则函数在这一点处间断。我们根据不满足的条件给函数的间断点进行分类。

4,间断点的类型:

(1)可去间断点:函数在一点处的极限存在,但不等于函数值;或者极限存在,但函数在这一点没有定义;

(2)跳跃间断点:函数的左、右极限都存在(不包括无穷大),但不相等;

(3)无穷间断点:左、右极限有一个为无穷大;

(4)振荡间断点:函数的极限不存在,也不是无穷大。

连续性间断点的问题通常是两类,一类是求间断点的类型,如果是可去间断点,重新定义使函数连续;另一类是求函数在某一点连续的所需要满足的条件。

例1,求函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-2}\) 的间断点的类型。如果是可去间断点,重新定义函数值,使其在该点连续。

解:因为

\[f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-2}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)}\]

所以函数在 \(x=2,-1\) 处没有定义。因为

\[\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)}=\lim_{x\to2}\frac{x-1}{x-2}=\infty\]

所以 \(x=2\) 是函数的无穷间断点。

对于 \(x=-1\),

\[\lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)}=\lim_{x\to-1}\frac{x-1}{x-2}=\frac{2}{3}\]

所以 \(x=-1\) 是函数的可去间断点。我们重新定义 \(f(-1)=\frac{2}{3}\),则函数

\[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x^2-x-2},& x\ne -1\\ \frac{2}{3},& x=-1\end{cases}\]

就在 \(x=-1\) 处连续。

例2,求 \(a,b\) 的值,使得函数

\[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2},&x<2\\ ax^2-bx+3,&2\le x\le 3\\ 2x-a+b,&x>3\end{cases}\]处处连续。

解:因为函数的第二、第三部分都是多项式,而多项式都是连续的;第一个部分是有理函数,而它没有定义的不在这个区间上。所以只要考虑在分段点处的连续性就可以了。当 \(x=2\) 时,

\begin{align}&\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2^-}(x+2)=4\\ &\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(ax^2-bx+3)=4a-2b+3\end{align*}

所以我们得到方程 \(4a-2b+3=4\),化简可得 \(4a-2b=1\)。当 \(x=3\) 时,

\begin{align*}&\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(ax^2-bx+3)=9a-3b+3\\ &\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(2x-a+b)=6-a+b\end{align*}

所以我们得到了第二个方程 \(9a-3b+3=6-a+b\),化简可以得 \(10a-4b=3\),联立两个方程

\[\begin{cases}4a-2b=1\\ 10a-4b=3\end{cases}\]

解这个方程组,我们可以得到 \(a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}\)。所以当 \(a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}\) 时,函数处处连续。