函数的微分与近似值

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1,微分:若函数可导,则函数可微分。函数 \(y=f(x)\)的微分定义为

\[df=f'(x)dx=dy\]

注意函数的微分是\(x\) 的二元函数,要知道函数在一点处的微分,我们不仅要给出 \(x\) 的值,还需要给出 \(dx\) 的值。自变量的微分就是自变量的增量,也就是 \(dx=\Delta x\)。

例1,\(y=\tan x\),则 \(dy=\sec^2xdx\)。

2,函数的近似值:函数的微分常用来求函数在某一点处的近似值。

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-1)\] 或者

\[f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x\]

例2,求 \(\sqrt{0.99}\) 的近似值。

解:令 \(f(x)=\sqrt{x}\),则 \(\sqrt{0.99}=f(0.99)\),\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。取 \(a=1,\Delta x=0.99-1=-0.01\),则有

\begin{align*}f(0.99)&\approx f(1)+f'(1)(x-a)\\ &=1+\frac{1}{2}(-0.01)=0.995\end{align*}

例3,求 \(\sqrt[3]28\) 的近似值。

解:令 \(f(x)=\sqrt[3]{x}\),则 \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\)。取 \(a=27\),则函数的近似值为

\begin{align*}f(28)&\approx f(27)+f'(27)(28-27)=3+\frac{1}{27}\end{align*}

例4,求 \(\tan 44^{\circ}\) 的近似值。

解:令 \(f(x)=\tan x, f'(x)=\sec^2x\)。取 \(a=\frac{\pi}{4}\),则 \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\),\(f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\),\(\Delta x=-1^{\circ}=-\frac{\pi}{180}\)所以

\[f(44^{\circ})\approx f(45^{\circ})+f'(45^{\circ})\left(-\frac{\pi}{180}\right)=1-\frac{\pi}{90}\]