函数的增减、凹凸、极值与拐点

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1,函数的增减性:

(1)\(f'(x)>0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 增加;

(2)\(f'(x)<0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 减少。

2,函数的凹凸性:

(1)\(f^{\prime\prime}(x)>0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 是凹的(下凸);

(2)\(f^{\prime\prime}(x)<0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 是凸的(上凸)。

3,极值存在的第一条件:

(1)若 \(x<x_0\) 时,\(f'(x)>0\);\(x>x_0\) 时,\(f'(x)<0\)\(\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极大值点,\( f(x_0)\) 是极大值;

(2)若 \(x<x_0\) 时,\(f'(x)<0\);\(x>x_0\) 时,\(f'(x)>0\)\(\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极小值点,\(f(x_0)\) 是极小值。

4,极值存在的第二条件:若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处二阶可导,\(f'(x_0)=0\),则

(1) \(f^{\prime\prime}(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极大值点,\( f(x_0)\) 是极大值;

(2)\(f^{\prime\prime}(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极小值点,\(f(x_0)\) 是极小值。

5,拐点:\(f^{\prime\prime}(x)\) 在 \(x_0\) 两边变号,则 \((x_0,f(x_0))\) 是函数的拐点。

例1:设 \(y=-2x^3+6x^2-3\),求函数的增减区间、凹凸区间、极值与拐点。

解:(1)\(f'(x)=-6x^2+12x=-6x(x-2)\),令 \(f'(x)=0\),得到两个点 \(x=0,2\)。我们可以在坐标轴上标注函数的增减情况

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从上面的图形可以看到:

在区间 \((-\infty, 0)\cup (2,+\infty)\) 上, \(f(x)\) 减少;

在区间 \((0,2)\) 上,\(f(x)\) 增加。

\(x=0\) 是极小值点,\(f(0)=-3\) 是极小值;\(x=2\) 是极大值点,\(f(2)=5\) 是极大值。

(2)\(f^{\prime\prime}(x)=-12x+12\),令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\),得到一个点 \(x=1\)。我们也可以在坐标轴上考察函数的情况,

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从上面的图形可以看到,\((-\infty,1)\) 上,函数是凹的;\((1,\infty)\) 上,函数是凸的。拐点是 \((1,f(1))=(1,1)\)。