函数作图的步骤

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1,函数作图的步骤:(1)确定函数的定义域,以及函数的一些特性如奇偶性,周期性等等;

(2)确定函数的渐近线,主要是水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线;

(3)求一阶导数,确定函数的增减区间与极值;

(4)求二阶导数,确定函数的凹凸区间与拐点;

(5)添加一些重要的点,例如与坐标轴的交点等等;

(6)画图。

例1,作函数 \(\displaystyle y=\frac{x}{x^2-9}\) 的图形。

解:(1)函数的定义域为 \(x\ne \pm 3\),函数是奇函数;

(2)\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0,\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0\]

所以两边的水平渐近线都是 \(y=0\)。

\[\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -3^-}f(x)=\lim_{x\to -3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle \lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\end{array}\]

所以 \(x=\pm 3\) 都是函数的垂直渐近线,要注意两边的符号不同。

没有斜渐近线(因为有水平渐近线)。

(3)\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-9)-x(2x)}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}=-\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}<0\),所以函数在整个实数轴上单减,没有极值。

(4)\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)&=-\frac{2x(x^2-9)^2-(x^2+9)2(x^2-9)\cdot 2x}{(x^2-9)^4}\\ &-\frac{2x(x^2-9)-4x(x^2+9)}{(x^2-9)^3}\\ &=-\frac{2x^3-18x-4x^3-36x}{(x^2-9)^3}\\ &=-\frac{2x^3-54x}{(x^2-9)^3}=\frac{2x(x^2-27)}{(x^2-9)^3}\end{align*}

令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\),得到 \(x=0,\pm3\sqrt{3}\)。另外,函数在 \(\pm3\) 处没有二阶导数。所以 \(0,\pm3,\pm3\sqrt{3}\) 将实数轴分成六个区间。