二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的解可以通过它的特征方程给出。

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1,特征方程:二阶常系数线性齐次微分方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=0\) 的特征方程为

\[r^2+pr+q=0\]

2,特征方程的解与微分方程的解:微分方程与特征方程的解之间的关系为

(1)特征方程的根为相异实根 \(r_1\ne r_2\quad\Rightarrow\quad\) 微分方程的通解为 |\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\);

(2)特征方程的根为重根:\(r_1=r_2\),则微分方程的通解为 \(y=(C_1x+C_2)e^{rx}\);

(3)特征方程的根为一对复根:\(r=\alpha\pm i\beta\),则微分方程的通解为 \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\)。

例1,求微分方程的通解:

\begin{array}{ll}(1)\quad y^{\prime\prime}+y’-6y=0& (2)\quad y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\\ (3)\quad y^{\prime\prime}+2y’+6y=0&\end{array}

解:(1)特征方程为 \(r^2+r-6=0\),它的解为 \(r=-2,3\)。所以微分方程的通解为

\[y=C_1e^{-2x}+C_2e^{3x}\]

(2)特征方程为 \(r^2+4r+4=0\),特征方程的根为 \(r_{1,2}=-2\),所以微分方程的通解为

\[y=(C_1x+C_2)e^{-2x}\]

(3)特征方程为 \(r^2+2r+6=0\),特征方程的根为 \(r_{1,2}=-1\pm \sqrt{5}i \),所以微分方程的通解为

\[y=e^{-x}(C_1\cos\sqrt{5}x+C_2\sin\sqrt{5}x)\]