二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程,我们只讲两种类型的方程的求法。

笔记下载:二阶常系数非齐次微分方程

1,二阶线性非齐次微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\) 的通解具有形式

\[y=y_h+y_p\]

其中 \(y_h\) 是对应齐次方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\) 的通解, \(y_p\) 是方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\) 的一个解,称为特解。

对于常系数 线性非齐次微分方程,我们只需要求出它的一个特解就可以得到它的通解。因为从上一节我们就知道如何求对应齐次方程的通解。

2,二阶常系数线性非齐次方程:\(y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\),其中 \(p,q\) 都是常数。

3,\(f(x)=e^{ax}P_m(x)\),其中 \(P_m(x)\) 是 \(m\) 阶多项式。它的特解 \(y_p\) 具有形式

(1)若 \(a\) 不是特征方程的根,则 \(y_p=Q_m(x)e^{ax}\),其中 \(Q_m(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0\) 是\(m\) 阶多项式,其系数待定;

(2)若 \(a\) 是特征方程的单根,则 \(y_p=xQ_m(x)e^{ax}\);

(3)若 \(a\) 是特征方程的重根,则 \(y_p=x^2Q_m(x)e^{ax}\)。

例1,求方程 \(y^{\prime\prime}+4y’+5y=e^{2x}\) 的通解。

解:特征方程为 \(r^2+4r+5=0\),特征方程的根为 \(r=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=-2\pm i\)。

所以 \(2\) 不是特征方程的根,\(P_m(x)=1\),我们可以设特解为 \(y_p=Ae^{2x}\),代入到微分方程里去,

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}+4y_p’+5y_p&=4Ae^{2x}+8Ae^{2x}+5Ae^{2x}\\ &=17Ae^{2x}=e^{2x}\end{align*}

所以 \(A=\frac{1}{17}\),也就是 \(y_p=\frac{1}{17}e^{2x}\)。所以方程的通解为

\[y=y_h+y_p=e^{-2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+\frac{1}{17}e^{2x}\]

例2,求方程 \(y^{\prime\prime}-3y’+2y=2e^x\) 的通解。

解:特征方程为 \(r^2-3r+2=0\),特征根为 \(r_{1,2}=1,2\)。所以 \(1\) 是特征方程的单根。因为 \(P_m(x)=2\), 可设特解为 \(y_p=Axe^{x}\),

\[y_p’=Ae^x+Axe^x, y_p^{\prime\prime}=2Ae^x+Axe^x\]

代入到微分方程里去,

\begin{align*}2Ae^x+Axe^x-3(Ae^x+Axe^x)+2Axe^x&=e^x(2A-3A)+xe^x(A-3A+2A)\\ &=-Ae^x=2e^x\end{align*}

所以得到 \(A=-2\),也就是说方程的特解 \(y_p=-2xe^x\),从而微分方程的通解为

\[y=C_1e^x+C_2e^{2x}-2xe^x\]

例3,求微分方程 \(y^{\prime\prime}-4y’+4y=2e^{2x}\) 的通解。

解:特征方程为 \(r^2-4r+4=0\),特征方程的根为 \(r_{1,2}=2\)。所以 \(2\) 是特征方程的重根。\(P_m(x)=2\),可设微分方程的特解为 \(y_p=Ax^2e^{2x}\)。

\[y’_p=2Axe^{2x}+2Ax^2e^{2x}, y_p^{\prime\prime}=2Ae^{2x}+8Axe^{2x}+4Ax^2e^{2x}\]

代入到微分方程

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}-4y_p’++4y_p&=2Ae^{2x}+8Axe^{2x}+4Ax^2e^{2x}\\ &\quad -4(2Axe^{2x}+2Ax^2e^{2x})+4Ax^2e^{2x}\\ &=2Ae^{2x}=2e^{2x}\end{align*}

所以 \(A=1,y_p=x^2e^{2x}\),微分方程的通解为

\[y=(C_1x+C_2)e^{2x}+x^2e^{2x}\]

4,\(f(x)=e^{\alpha x}(P_{m_1}(x)\cos\beta x+P_{m_2}(x)\sin\beta x\),其中 \(P_{m_1}(x), P_{m_2}(x)\) 是多项式。我们令 \(m=\max\{m_1,m_2\}\)。那么微分方程的特解 \(y_p\) 具有形式

(1)\(\alpha+i\beta\) 不是特征方程的根,则

\[y_p=e^{\alpha x}(Q^1_{m}(x)\cos\beta x+Q^2_{m}(x)\sin \beta x)\]

其中 \(Q^1_{m}(x), Q^2_{m}(x)\) 都是 \(m\) 次多项式;

(2)\(\alpha+i\beta\) 是特征方程的根,则

\[y_p=xe^{\alpha x}(Q^1_{m}(x)\cos\beta x+Q^2_{m}(x)\sin \beta x)\]

例4,求微分方程 \(y^{\prime\prime}+9y=\cos x\) 的通解。

解:特征方程为 \(r^2+9=0\),它的解为 \(r=\pm 3i\),所以 \(\beta =1, \alpha=0, \alpha+\beta i=i\) 不是特征方程的根。\(P_m(x)=1\),所以可以设 \(y_p=A\cos x+B\sin x\),代入微分方程

\begin{align*}y^{\prime\prime}+9y&=-A\cos x-B\sin x+9A\cos x+9B\sin x\\ &=8A\cos x+8B\sin x=\cos x\end{align*}

所以 \(A=\frac{1}{8}, B=0\),方程的特解为 \(y_p=\frac{1}{8}\cos x\),从而方程的特解为

\[y=C_1\cos 3x+C_2\sin 3x+\frac{1}{8}\cos x\]

例5,求方程 \(y^{\prime\prime}+4y=\cos 2x\) 的通解。

解:特征方程为 \(r^2+4=0\),特征根为 \(r=\pm 2i\)。所以 \(\alpha+i\beta=2i\) 是特征方程的根,\(P_m(x)=1\),所以可设 \(y_p=Ax\cos2x+Bx\sin2x\),

\begin{align*}y_p’&=A\cos2x-2Ax\sin2x+B\sin2x+2Bx\cos2x\\ &=(A+2Bx)\cos2x+(B-2Ax)\sin2x\end{align*}

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}&=2B\cos2x-2(A+2Bx)\sin2x-2A\sin2x+2(B-2Ax)\cos2x\\ &=\cos2x(2B+2B-4Ax)+\sin2x(-2A-4Bx-2A)\\ &=\cos2x(4B-4Ax)-\sin2x(4A+4Bx)\end{align*}

代入到微分方程里去

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}+4y_p&=\cos2x(4B-4Ax)-\sin2x(4A+4Bx)+4(Ax\cos2x+Bx\sin2x)\\ &=4B\cos2x-4A\sin2x=\cos2x\end{align*}

所以 \(A=0,B=\frac{1}{4}\),方程的特解为 \(y_p=\frac{1}{4}x\sin 2x\),方程的通解为

\[y=C_1\cos2x+C_2\sin 2x+\frac{1}{4}\sin2x\]