中值定理

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我们通常所说的中值定理,是指拉格朗日中值定理:若 \(f(x)\)(1)在闭区间 \([a,b]\) 上连续;(2)在开区间 \((a,b)\) 内可导,则存在一点 \(\xi\in(a,b)\),使得

\[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

中值定理通常用来证明一些命题或者不等式。

例1,设 \(0<b<a\),证明 \(\displaystyle\frac{a-b}{a}<\ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}\)。

分析:因为 \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\),如果在不等式两边同除以 \(a-b\),则不等式变成 \(\displaystyle\frac{1}{a}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{b}\),中间的项正好是中值定理的右边。所以可以用中值定理来证明。

证明:令 \(f(x)=\ln x\),则 \(f(x)\) 在 \([b,a]\) 上连续,在 \((b,a)\) 内可导,所以存在 \(\xi\in(b,a)\),使得 \[f'(x)=\frac{\ln a-\ln b}{a-b}\]

因为 \((\ln x)’=\frac{1}{x}\),\(f'(\xi)=\frac{1}{\xi}\), 又因为 \(b<\xi<a\),所以 \(\frac{1}{a}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{b}\)。所以

\[\frac{1}{a}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{b}\]

两边同乘以 \(a-b\),就得到了

\[\frac{a-b}{a}<\ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}\]