不定积分的第二类换元法

第二类换元法与第一类换元法都是对应于复合函数求导法则,只是这里将 \(x\) 看成中间变量,即\[\int f(x)dx=\int f(g(x))g'(t)dt\]

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从公式上看,变换以后的被积分函数比之前的函数还复杂些。但是换元以后,可以将原来被积分函数中比较难处理的部分变得更简单些,从而简化求积分的过程。

最常见的第二类换元法是三角代换。

2,三角代换:若函数中含有项:

(1)\(\sqrt{a^2-x^2}\),则作代换 \(x=a\sin t, dx=a\cos tdt,\),利用恒等式 \(\sin^2x+\cos^2x=1\),可以去掉根号 \(\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t\);

(2)\(\sqrt{a^2+x^2}\),则作代换 \(x=a\tan t, dx=\sec^2tdt\),利用恒等式 \(\tan^2x+1=\sec^2x\),可以去掉根号 \(\sqrt{a^2+x^2}=a\sec t\);

(3)\(\sqrt{x^2-a^2}\),则作代换 \(x=a\sec t, dx=a\tan t\sec tdt\),利用恒等式 \(\tan^2x+1=\sec^2x\),可以去掉根号 \(\sqrt{x^2+a^2}=a\tan t\)。

例1,求积分 \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx\)。

解:令 \(x=3\sin t, dx=3\cos tdt\),

\begin{align*}\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx&=\int\frac{3\cos t}{9\sin^2t}3\cos tdt=\int \cot^2tdt\\ &=\int(\csc^2t-1)dt\\ &=-\cot t-t+C\end{align*}

现在要将变量代回去,因为 \[x=3\sin t\quad \Rightarrow\quad \sin t=\frac{x}{3}\]

由三角函数的定义,

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所以 \(\cot t=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}, t=\arcsin\frac{x}{3}\),所以原积分为

\[\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx=-\cot t-t+C=-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\arcsin\frac{x}{3}+C\]

例2,求积分 \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\)。

解:令 \(x=2\tan t, dx=2\sec^2tdt\),则

\begin{align*}\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}&=\int\frac{2\sec^2tdt}{4\tan^2t2\sec t}&=\frac{1}{4}\int\frac{\sec t}{\tan^2t}dt=\frac{1}{4}\int\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{\cos^2t}{\sin^2t}dt\\ &=\frac{1}{4}\int\cot t\csc tdt\\ &=-\frac{1}{4}\csc t+C\end{align*}

由三角函数的定义,

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所以 \(\csc t=\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\),原积分为

\[\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}=-\frac{1}{4}\csc t+C=-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+C\]

例3,计算积分 \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\)。

解:令 \(x=a\sec t, dx=a\tan t\sec tdt\),

\begin{align*}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\int\frac{a\tan t\sec tdt}{a\tan t}dt\\ &=\int\sec tdt=\ln|\tan t+\sec t|+C\end{align*}

再由三角函数的定义,

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可以得到 \(\tan t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a},\sec t=\frac{x}{a}\),所以

\[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C\]

我们来看别的第二类换元法。

例4(倒代换),求积分 \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx\)。

解:作代换 \(\displaystyle x=\frac{1}{t}, dx=-\frac{1}{t^2}\),则

\begin{align*}\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx&=\int t^4\cdot\sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt\\ &=-\int t^2\sqrt{a^2-\frac{1}{t^2}}dt\\ &=-\int|t|\sqrt{a^2t^2-1}dt\end{align*}

这是因为 \(t^2=|t|^2>0\)。当 \(x>0\) 时,\(t=\frac{1}{x}>0\),积分变为

\begin{align*}-\int|t|\sqrt{a^2t^2-1}dt=-\int t\sqrt{a^2t^2-1}dt\end{align*}

作变换 \(u=a^2t^2-1, du=2a^2tdt, tdt=\frac{1}{2a^2}du\),积分变为

\begin{align*}-\int t\sqrt{a^2t^2-1}dt=-\int u^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2a^2}du\\ &=-\frac{1}{2a^2}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\\ &=-\frac{1}{3a^2}(a^2t^2-1)^{\frac{3}{2}}+C\\ &=-\frac{1}{3a^2}(\frac{a^2}{x^2}-1)^{\frac{3}{2}}+C\end{align*}