不定积分的第一类换元法

换元积分法对应着复合函数的求导法则。

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1,第一类换元法:

\[\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du\]

积分完毕后,需要换回到原来积分变量。

例1,计算积分 \(\displaystyle\int2xd^{x^2}dx\)。

解:令 \(u=x^2,du=2xdx\),则

\[\int2xd^{x^2}dx=\int e^udu=e^u+C=e^{x^2}+C\]

例2,求 \(\displaystyle\int \cos^2x\sin xdx\)。

解:令 \(u=\cos x, du=-\sin xdx\),所以

\begin{align*}\int \cos^2x\sin xdx&=-\int\cos^2x(-\sin x)dx\\ &=-\int u^2du=-\frac{1}{3}u^3+C=-\frac{1}{3}\cos^3x+C\end{align*}

例3,求积分 \(\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}dx\)。

解:令 \(u=1-x^2, du=-2xdx\),所以

\begin{align*}\int x\sqrt{1-x^2}dx&=\int\sqrt{1-x^2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-2x\right)dx\\ &=-\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\\ &=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C\end{align*}

例4,求积分 \(\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx\)。

解:令 \(u=\sqrt{x}, du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\),

\begin{align*}\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx&=2\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx\\ &=2\int e^udu=2e^u+C\\ &=e^{\sqrt{x}}+C\end{align*}

在求不定积分的时候,我们要先观察,有没有哪一部分是另一部分的导数。另外,哪一部分比较难处理,就换哪一部分。

例5,求积分 \(\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}\)。

解:这里比较难处理的是分母里的 \(\ln(\ln x)\),所以令 \(u=\ln(\ln x), du=\frac{1}{x\ln x}dx\),所以

\begin{align*}\int\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}&=\int\frac{1}{x\ln x}\cdot\frac{1}{\ln(\ln x)}dx\\ &=\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\\ &=\ln|\ln(\ln x)|+C\end{align*}