不定积分的分部积分法

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1,分部积分法:由乘积的求导公式 \((uv)’=u’v+uv’\),我们得到分部积分法:

\[\int uv’dx=uv-\int u’vdx\]

分部积分可以归纳成以下几类:

(1)幂函数与三角函数、指数函数的乘积:以三角函数或者指数函数为 \(v’\),幂函数为 \(u\),可以不断为幂函数降阶;

例如:

\begin{align*}\int x^2sin xdx&=-x^2\cos x+\int \cos x (x^2)’dx\\ &=-x^2\cos x+\int \cos x \cdot 2xdx\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x-2\int\sin xdx\\ &= -x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{align*}

又例如,

\begin{align*}\int xe^{-x}dx&=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C\end{align*}

(2)幂函数与对数函数、反三角函数的乘积:以幂函数为 \(v’\),对数函数、反三角函数为 \(u\),这是因为对数函数、反三角函数的原函数我们不知道。

例如

\begin{align*}\int x\cdot \ln xdx&=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^2\cdot(\ln x)’dx\\ &=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^2\frac{1}{x}dx\\ &=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx\\ &=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C\end{align*}

又如

\begin{align*}\int \arctan xdx&=x\arctan x-\int x\frac{1}{1+x^2}dx\\ &=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{align*}

(3)三角函数与指数函数的乘积(回复积分):任何一个为 \(u,v’\) 都可以。这时候需要多次应用分部积分法,求出与原积分相同的项,通过移项,可以求出原积分,这种方法叫做回复积分。

例如

\begin{align*}\int e^x\sin xdx&=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx\\ &=e^x\sin x-e^x\cos x+\int e^x(\cos x)’dx\\ &=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx\end{align}

移项

\begin{align*}2\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-e^x\cos x+C\end{align*}

这里的 \( C\) 是因为两个不定积分之差,会有一个任意常数出现(两个原函数之差为常数)。将上式两边除以 \(2\),就得到

\begin{align*}\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}(e^x\sin x-e^x\cos x)+C\end{align*}

(4)递推法:这种方法在下一个视频讲解。