不定积分求法汇总

现在我们对不定积分的求法作一下总结。我们给出一般的原则,以及各种针对不同的被积函数的类型的积分方法。

笔记下载:不定积分求法汇总(总结)

求不定积分的原则一般有:

1,先化简:例如

\begin{align*}\int\sqrt{x}(1+x)dx&=\int \left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right)dx\\ &=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C\end{align*}

2,观察有没有明显的代换,例如

\begin{align*}\int\frac{x}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}dx\\ &=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{align*}

\begin{align*}\int\frac{\arctan x}{1+x^2}dx\stackrel{u=\arctan x}{=}\int udu=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\arctan x+C\end{align*}

3,观察能不能变形为熟悉的形式:

\begin{align*}\frac{dx}{\sqrt{-x^2-2x+3}}&=\int\frac{dx}{\sqrt{3-(x^2+2x)}}=\int\frac{dx}{\sqrt{3-(x^2+2x+1)+1}}\\ &=\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x+1)^2}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}\end{align*}

然后作变换:\(u=\frac{x+1}{2}, du=\frac{1}{2}dx\),积分就变成我们反熟悉的公式

\begin{align*}\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}&=\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\\ &=\arcsin u+C=\arcsin \frac{x+1}{2}\end{align*}

4,根据不同的被积函数选取合适的积分方法。

(1)两个函数的积,其中一个是幂函数,另一个是三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数中的一个,这时候,适合分部积分法;

(2)如果是有理函数,则使用部分分式法;

(3)无理函数(根式函数)(a):若根式里是一次函数 \(\sqrt[n]{ax+b}\),则直接使用代换 \(u=\sqrt[n]{ax+b}\);(b):若根式里是二次函数 \(\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{z^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\),则使用三角代换;(c)若根式里是一般二次函数 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\),则先配方,再使用三角代换。

(4)三角函数的积分:使用降阶法、换元法以及其它一些三角函数恒等式简化被积函数。

(5)配合多种积分法求积分。

(6)尝试不同的代换。有时候一种代换没办法求出积分,也许换一种方法能够取得较好的效果。