不定积分基本公式

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1,不定积分的定义与性质:不定积分是所有原函数的集合。也就是说,如果 \(F'(x)=f(x)\),则 \[\int f(x)dx=F(x)+C\]

它的性质主要有:

(1)\(\displaystyle\int Cf(x)dx=C\int f(x)dx\);

(2)\(\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)’=f(x)\);

(3)\(\displaystyle\int f‘(x)dx=f(x)+C\);

(4)\(\displaystyle\int \left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)。

2,不定积分基本公式:对应着导数的基本公式,可以得到不定积分的基本公式

(1)\(\displaystyle\int 0dx=C\);

(2)\(\displaystyle\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\);

(3)\(\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C\);

(4)\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C\);

(5)\(\displaystyle\int\sec^xdx=\tan x+C\);

(6)\(\displaystyle\int\csc^2xdx=-\cot x+C\);

(7)\(\displaystyle\int e^xdx=e^x+C\);

(8)\(\displaystyle\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\);

(9)\(\displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\),这里的绝对值是因为如 \(x<0\),我们需要作一个变量代换,将自变量变成正数,这部分的内容在不定积分的换元法讲述;

(10)\(\displaystyle\int \tan x\sec xdx=\sec x+C\);

(11)\(\displaystyle\int \cot x\csc xdx=-\csc x+C\) ;

(12)\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C\);

(13)\(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C=-\text{arccot}x+C\)。

有了这些基本公式,再加上不定积分的性质,我们可以求得一些简单的不定积分。

例1,计算 \(\displaystyle\int\sqrt{x}(1+x)dx\)。

解:\begin{align*}\int\sqrt{x}(1+x)dx&=\int(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}})dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{\frac{3}{2}}dx\\ &=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C\end{align*}

例2,计算\(\displaystyle\int \frac{1}{x}(2+x^2)dx\)。

解:\begin{align*}\int \frac{1}{x}(2+x^2)dx&=\int(\frac{1}{x}+x)dx\\ &=\int\frac{1}{x}dx+\int xdx\\ &=\ln|x|+\frac{1}{2}x^2+C\end{align*}