一阶微分方程

高等数学里的一阶微分方程通常有几个类型:可分离变量的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程与伯努利方程。

笔记下载:一阶线性方程

1,可分离变量的微分方程:若方程形式为

\[y’=\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]

则方程为可分离变量的微分方程,两边同乘以\(\frac{dx}{g(x)}\) 以后,方程的变量就分离了

\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]

左边只有 \(y\),右边只有 \(x\)。两边积分,就可以求出方程的解。

2,齐次方程 \(\displaystyle y’=f\left(\frac{y}{x}\right)\),作变换 \(\displaystyle u=\frac{y}{x}\),方程就变成了可分离变量的微分方程

\[\begin{array}{lll}u=\frac{y}{x}&\Rightarrow& y=xu\\ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=f(u)&\Rightarrow &x\frac{du}{dx}=f(u)-u\end{array}\]

再利用可分离变量的微分方程来求解。

3,一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=q(x)\]

它的解为 \[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\]

这个公式可以用积分因子法或者常数变易法求得。

4,伯努利方程 \(y’+p(x)y=q(x)y^n\):将方程两边除以 \(y^{n}\),再做变换 \(z=y^{1-n}\) ,就可以将方程化成一阶线性微分方程。

\begin{array}{ll}\Rightarrow&y^{-n}y’+p(x)y^{1-n}=q(x)\\ &z=y^{1-n}, dz=(1-n)y^{-n}y’\\ \Rightarrow&(1-n)y^{-n}y’+(1-n)p(x)y^{1-n}=(1-n)q(x)\\ \Rightarrow&\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)\end{array}

这就是一阶线性微分方程,我们求出 \(z\),再开根号就得到 \(y\)。

例1,解方程 \(y’=e^{x-y}\)。

解:这是一个可分离变量的方程,先将方程变形为

\[ y’=e^x\cdot e^{-y} \quad\Rightarrow \quad \frac{dy}{dx}=\frac{e^x}{e^y}\]

所以

\[ e^ydy=e^xdx\quad\Rightarrow\quad \int e^ydy=\int e^xdx\]

积分以后得

\[ e^y=e^x+C\]

例2,解方程 \(y’=\frac{y}{x}\)。

解:方程可以变形为

\[\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}\]

所以

\[\ln|y|=\ln|x|+C\quad\Rightarrow\quad |y|=e^C|x|\]

我们仍然记 \(C=e^C\) 并且允许它为负数的话,就得到了方程的解为

\[y=Cx\]

例3,解方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+3y^2}{2xy}\)。

解:将右边分开成两项,

\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{x}{y}+\frac{3}{2}\frac{y}{x}\]

这是一个齐次方程。令 \(u=\frac{y}{x}\),则 \(y=ux, \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=\frac{1}{2u}+\frac{3}{2}u\),所以

\[x\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}+u\right)\]

分离变量

\[\frac{dy}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}+u\right)}=\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \int\frac{2udu}{1+u^2}=\int\frac{dx}{x}\]

积分以后得

\[\ln(1+u^2)=\ln|x|+C\quad\Rightarrow\quad 1+u^2=Cx\]

代回到原变量,方程的解为

\[\ln\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\ln|x|+C\]

例4,解初值问题 \((x+1)y’+y=2e^{-x}, y(1)=0\)。

解:将方程两边同除以 \(x+1\),得

\[y’+\frac{1}{x+1}y=\frac{2e^{-x}}{x+1}\]

这是一阶线性微分方程,由一阶线性微分方程解的表达式,

\begin{align*}y=&e^{-\int\frac{1}{x+1}dx}\left(C+\int e^{\int\frac{1}{x+1}dx}\frac{2e^{-x}}{x+1}dx\right)\\ &=e^{-\ln|x+1|}\left(C+\int e^{\ln|x+1|}\frac{2e^{-x}}{x+1}dx\right)\\ &=\frac{1}{|x+1|}\left(C+\int |x+1|\frac{2e^{-x}}{x+1}dx\right)\\ &=\frac{1}{x+1}\left(C+\int2e^{-x}dx\right)\\ &=\frac{1}{x+1}\left(C-2e^{-x}\right)=\frac{C-2e^{-x}}{x+1}\end{align*}

例5,解方程 \(y’+\frac{1}{x+1}y=-\frac{1}{2}(x+1)^3y^3\)。

解:这是一个伯努利方程,两边同除以 \(y^3\),得

\[y^{-3}y’+\frac{1}{x+1}y^{-2}=-\frac{1}{2}(x+1)^3\]

令 \(z=y^{-2}\),则 \(\frac{dz}{dx}=-2y^{-3}y\frac{dy}{dx}\)。将上面的方程两边同乘以 \(-2\),得到

\[-2y^{-3}\frac{dy}{dx}-2\frac{1}{x+1}y^{-2}=(x+1)^3\]

将 \(z=y^{-2}\) 代入,得

\[\frac{dz}{dx}-2\frac{1}{x+1}z=(x+1)^3\]

由一阶微分方程解的表达式,

\begin{align*}z&=e^{2\int \frac{1}{x+1}dx}\left(C+e^{-2\int \frac{1}{x+1}dx}(x+1)^3dx\right)\\ &=e^{2\ln|x+1|}\left(C+\int e^{-2\ln|x+1|}(x+1)^3dx\right)\\ &=(x+1)^2\left(C+\int (x+1)^{-2}(x+1)^3dx\right)\\ &=(x+1)^2\left(C+\int (x+1)dx\right)=(x+1)^2(C+\frac{1}{2}(x+1)^2)\\ &=C(x+1)^2+\frac{1}{2}(x+1)^4\end{align*}

也就是

\[z=y^{-2}=C(x+1)^2+\frac{1}{2}(x+1)^4\]

所以

\[y=\frac{1}{\sqrt{C(x+1)^2+\frac{1}{2}(x+1)^4}}\]