行列式的递归法定义(行列式展开法)

行列式的定义方法有好几种,其中最容易理解也最容易操作的是行列式的递归法定义。我们先定义二阶行列式,然后用二阶行列式定义三阶行列式,用三阶行列式定义四阶行列式,等等。

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1,二阶行列式定义为

\[|A|=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]

就是主对角线的元素的乘积减去副对角线元素的乘积。

例如:\[|A|=\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}=1\cdot3-2\cdot4=3-8=-5\]

2,三阶行列式的定义。我们定义三阶行列式为:将 \(a_{11}\) 所在的行和列划掉,再乘以 \(a_{11}\);将 \(a_{12}\) 所在的行和列划掉,乘以 \(-1\),再乘以 \(a_{12}\);将 \(a_{13}\) 所在的行和列划掉,再乘以 \(a_{13}\);最后将这三项加起来,就是行列式的值,也就是说

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\\&=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{32}&a_{31}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\end{align*}

更一般的叙述是:\[|A|=a_{11}C_{11}-a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\]用和式来写就是 \[|A|=\sum_{j=1}^3a_{1j}A_{1j}\]

这里,\(C_{ij}\) 就是原行列式划去 \(a_{ij}\) 所在的行和列后所得的低一阶行列式,称为 \(a_{ij}\)的余子式,而 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}C_{ij}\) 称为 \(a_{ij}\) 的代数余子式。

这样的定义可以推广到 \(n\) 阶行列式。

3,\(n\) 阶行列式。对于 \(n\) 阶行列式,我们可以用上面定义的方法

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots& a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\&=a_{11}(-1)^{1+1}A_{11}+a_{12}(-1)^{1+2}A_{12}+\cdots+a_{1n}(-1)^{1+n}A_{1n}\\&=\sum_{j=1}^na_{1j}A_{1j}\end{align*}

我们来看几个用定义计算行列式的例子。

例1:计算行列式 \[|A=\begin{vmatrix}3&-1&6\\ 5&2&7\\ 8&9&4\end{vmatrix}\]

解:我们有

\begin{align*}|A&=\begin{vmatrix}3&-1&6\\ 5&2&7\\ 8&9&4\end{vmatrix}= 3\begin{vmatrix}2&7\\ 9&4\end{vmatrix}+(-1)(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 5&7\\ 8&4\end{vmatrix}+6(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 5&2\\ 8&9\end{vmatrix}\\ &=3(8-63)+(20-56)+6(45-16)\\&=3(-55)+(-36)+6(29)=60\end{align*}

例2:下三角行列式的值等于主地角线元素的乘积。即

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&&0\\ \vdots&\vdots&&\ddots&0\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

每一次我们只需要按第一行展开即可。

对于行列式的定义,我们可以以任意一行或者列来定义,这就是下面的

4,定理(按任意一行或者列展开):行列式按任一行或者列展开,其值相同。也就是说

\[|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij},\quad |A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\]

第一个等式是按 \(i\) 行展开,第二个等式是按 \(j\) 列展开。这个定理告诉我们,我们可以以最简单的那个行或者列展开,这样可以简化一些计算。

例3,上三角行列式的值,为其主对角线元素的乘积。也就是\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&\cdots&a_{2n}\\ 0&\vdots&\ddots&&\vdots\\ 0&\vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]我们只需要每次将其按照第一列展开就可以了。

例4,计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}3&0&0&0\\5&1&2&0\\ 2&6&0&-1\\-6&3&1&0\end{vmatrix}\]

解:我们先按第一行展开,得到

\[|A|=3\begin{vmatrix}1&2&0\\ 6&0&-1\\3&1&0\end{vmatrix}\]

再按第三列展开,\[|A|=3(-1)(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}=3(1-6)=-15\]