行列式的逆序法定义

行列式的另一种定义方式为逆序法定义。

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1,全排列: \(n\) 个数排成一列,称为这 \(n\) 个数的一个排列。\(n\) 个数的排列有 \(n!\) 种排列。例如 \((1,2,3)\) 这三个数有 \(3!=6\) 种排列:

\[(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),(3,2,1)\]

2,逆序:排列中如果一个数的前面有一个数比它大,就称为一个逆序。排列中所有逆序之和称为逆序数。

例如排列 \((3,2,1)\) 有 \(3\) 个逆序。因为 \(2\) 的前面有一个 \(3\) 比它大,这是一个逆序,而 \(1\) 前面有两个数比它大,它有 \(2\) 个逆序,所以这个排列共有 \(3\) 个逆序。

3,奇排列与偶排列:逆序数为奇数的排列为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。

4,\(n\) 阶行列式的定义。我们定义 \(n\) 阶行列式为

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}=\sum_{t\in P}(-1)^ta_{1j_1}a_{1j_2}\cdotsa_{1j_n}\end{vmatrix}\]

这里,\(P\) 是 \(1,2,\cdots,n\) 的所有排列数,\(j_1, j_2, \cdots, j_n\) 是 \(1,2,\cdots, n\) 的一个排列, \(t\) 是这个排列的逆序数。

例如,二阶行列式,\(n=2\),它的排列只有两种,\((1,2)\) 和 \((2,1)\),由我们刚才的定义

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=(-1)^ta_{11}a_{22}+(-1)^ta_{12}a_{21}\]

我们去看每一项每个数字的下标,第一项下标,第一个为 \(1\),第二个为 \(2\),所以它的逆序数为 \(0\);第二项,第一个数字第二个下标为 \(2\),第二个数字的第二个下标为 \(1\),所以它的逆序数为 \(1\)。所以

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=(-1)^ta_{11}a_{22}+(-1)^ta_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

三阶行列式类似定义,它有 \(6\) 项,因为三个数的排列有 \(3!=6\) 种。而四阶行列式有 \(4!=24\) 项。我们就不一一列举了。