行列式的性质及其计算

直接利用行列式的定义来计算行列式,是一件很繁琐的事,计算量大还容易出错。这时候利用行列式的性质能够简化行列式的计算。

笔记下载:行列式的性质与计算

我们首先叙述行列式的性质,然后证明这些性质。

1,行列式的性质:

  • \(|A|=|A^T|\),即行列式与它的转置行列式相等;
  • 如果行列式里有一行或者一列全为零,则行列式为 \(0\);
  • 交换两行或者两列,行列式变号;
  • 如果某一行或者列乘以一个数,等于行列式乘以该数;即\[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
  • 如果两行或者两列相等,则行列式为 \(0\);
  • 如果两行或者两列成比例,行列式为 \(0\);
  • 将一行或者一列加上另一行或者另一列的倍数,行列式不变;
  • 将一行或者列的元素乘以另一行或者另一列的代数余子式,其和为 \(0\)。

证明:(1)行列式与它的转转置行列式相等,因为行列式可以按任一行或者任一列展开;

(2)如果行列式某一行或者某一列全为 \(0\),则按这一行或者这一列展开,行列式为 \(0\);

(3)我们用归纳法来证明,交换两行或者两列,行列式变号。

首先,二阶的情形,\[|A|=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc,\quad \begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=bc-ad=-|A|\]所以结论对于二阶行列式成立。

我们假设结论对 \(n\) 阶行列式成立。我们证明对 \(n+1\) 阶行列式成立。我们假设 \(|B|\) 是由 \(|A|\) 交换两行得到的行列式。我们对 \(|A|\) 和 \(|B|\) 按照没有被交换的任一行展开,例如,\(i\) 行没有被交换,我们按这一行展开,

\[|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\]

\[|B|=a_{i1}B_{i1}+a_{i2}B_{i2}+\cdots+a_{in}B_{in}\]

由假设,\(A_{ij}, B_{ij}\) 都是 \(n\) 阶行列式,且\(B_{ij}=-A_{ij}\),所以 \(|B|=-|A|\)。

(4)如果 \(|A|=\) 的第 \(i\) 行的每个元素都乘以一个数 \(k\),成为\[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]我们将它按照第 \(i\) 展开,得到 \[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=ka_{i1}A_{i1}+\cdots+ka_{in}A_{in}=k(a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in})=k|A|\]

(5)如果两行相等,例如第 \(i\) 行与第 \(j\) 行相等,那么我们交换这两行以后,行列式不变。但是交换两行,行列式变号,即 \(-|A|=|A|\),所以 \(|A|=0\);

(6)由前面两个性质,我们知道,两行成比例,行列式为 \(0\);

(7)我们假设 \(|B|\) 是将行列式 \(|A|\) 的第 \(j\) 行加上第 \(i\) 行的 \(k\) 倍得到。

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}&&a_{jn}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix},\qquad|B|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}+ka_{i1}&&a_{jn}+ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

我们将 \(|B|\) 按照 \(j\) 行展开,\begin{align*}|B|&=(a_{j1}+ka_{i1})A_{j1}+\cdots+(a_{jn}+ka_{in})A_{jn}\\ &=(a_{j1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn})+(ka_{i1}A_{j1}+\cdots+ka_{in}A_{jn})\\ &=|A|+k(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn})\end{align*}

我们来证明后一项为 \(0\)。\(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}\) 相当于将 \(|A\) 按照第 \(j\) 行展开,但是将第 \(j\) 行的元素替换成 \(i\) 行的对应元素,即

\[a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

由于两行相同,所以行列式为 \(0\),即 \(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}80\),也就是 \(|B|=|A|\)。

(8)由上面最后的证明,我们知道,将其中一行乘以另一行的对应代数余子式,其和为 \(0\)。

上面的这些性质,可以简化行列式的计算。其中最重要的是 (3),(4),(7),它们所对应的运算,称之为行列式的初等变换。也就是说,行列式的初等变换包含三种运算:

  • 交换两行或者两列;
  • 将其中一行或者列的公因子提到行列式外面;
  • 将其中一行或者列加上另一行或者列的倍数。

通过这三种运算,可以简化行列式的形式,从而大大简化行列式的运算。

2,行列式的计算:计算行列式,最有效最简便的方法是降阶法。另一个是将行列式化成上、下三角形,从而可以直接得到行列式的值。

降阶法:通过行列式的初等运算,将其中一行或者一列的所有元素除一个以外,都化成 \(0\),然后按照这一行或者列展开,从而降低行列式的阶。重复上述过程,最后可以得到一个二阶的行列式,从而可以得到行列式的值。

下面我们用降阶法求行列式。

例1:计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}4&1&2&4\\ 1&2&0&2\\ 10&5&2&0\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}\]

解:我们利用降阶法计算。先将第一列化成除一个元素外,都为 \(0\),然后展开。依此进行。将第二行乘以 \(-4\) 加到第一行,乘以 \(-10\) 加到第三行,

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}4&1&2&4\\ 1&2&0&2\\ 10&5&2&0\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-7&2&-4\\ 1&2&0&2\\0&-15&2&-20\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-7&2&-4\\-15&2&-20\\ 1&1&7\end{vmatrix}\\& =-\begin{vmatrix}-9&0&-18\\-17&0&-34\\ 1&1&7\end{vmatrix}=-(-9)(-17)\begin{vmatrix}1&0&2\\1&0&2\\ 1&1&7\end{vmatrix}=0\end{align*}

例2:计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}\]

解:将第一列第一个元素下方全部化成 \(0\),

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ 0&0&1&4\\0&3&4&-2\\0&1&4&-1\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix} 0&1&4\\3&4&-2\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&4\\0&-8&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4\\-8&1\end{vmatrix}=33\end{align*}