\(\mathbb{R}^n\) 的线性子空间

\(\mathbb{R}^n\) 的一个子集 \(U\),如果满足两个条件(对加法和数乘封闭):

(1)若 \(\vec{u}\vec{v}\in U\),则 \(\vec{u}+\vec{v}\in U\);

(2)若 \(\vec{u}\in U\),则对于任意的 \(\lambda\in \mathbb{R}\),\(\lambda \vec{u}\in U\)

则我们称 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的一个线性子空间。

 

有些教材将 \(\vec{0}\in U\) 也作为线性子空间的一个条件,这时为了方便确定一个集合是否为一个线性子空间而定的,事实上,在第二个条件里令 \(\lambda=0\) 就得到了\(\vec{0}\in U\)。

另外,上面的两个条件可以合并为一个条件:若 \(\vec{u},\vec{v}\in U\),则 \(\lambda \vec{u}+\mu\vec{v}\in U\)。只要令 \(\lambda=1,\mu=1\) 就得到第一个条件,令 \(\mu=0\) 就得到第二个条件。