我们来讨论一般线性空间上的线性变换。
1，变换：从一个线性空间 \(\mathcal{V}\) 到另一个线性空间 \(\mathcal{U}\)的映射，称为 \(\mathcal{V}\) 到 \(\mathcal{U\) 的一个变换，通常用 \(T\) 表示。
2，线性变换：若 \(\mathcal{V}\) 到 \(\mathcal{U\) 的一个变换 \(T\) 满足：
（1）\(T(\vec{u}+\vec{v})=T\vec{u}+T\vec{v}\)；
（2）\(T(\lambda \vec{u})=\lambda T\vec{u}\)。
则称 \(T\) 为 \(\mathcal{V}\) 上的一个线性变换。
例1，设 \(D\) 是微分算子，\(D=\frac{d}{dx}\)，则 \(D\) 是 \(C^1[a,b]\) 上的线性变换。
证明：（1）\(f,g\) 在 \([a,b]\) 上可微\(\Rightarrow\) \(D(f+g)=Df+Dg\) ;
（2）\(f\) 在 \([a,b]\) 上可微\(\Rightarrow\) \(D(\lambda f)=\lambda Df\) 。
所以，\(D\) 是 \(C^1[a,b]\) 上的线性变换。
例2，\(D\) 是\(P_n(x)\) 上的线性变换。
例3，积分算子 \(I(f)=\int_a^bf(x)dx\) 是 \(C[a,b]\) 上的线性变换。
3，线性变换的矩阵。设 \(T:\mathcal{V}\to \mathcal{V}\) 是一个线性变换。设 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 为 \(\mathcal{V}\) 的一组基。若
\begin{cases}T\vec{a}_1&=k_{11}\vec{a}_1+k_{21}\vec{a}_2+\cdots+k_{n1}\vec{a}_n=(\vec{a}_1\quad\cdots\quad\vec{a}_n)\begin{pmatrix}k_{11}\\ k_{21}\\ \vdots\\ k_{n1}\end{pmatrix}\\ T\vec{a}_2&=k_{12}\vec{a}_1+k_{22}\vec{a}_2+\cdots+k_{n2}\vec{a}_n=(\vec{a}_1\quad\cdots\quad\vec{a}_n)\begin{pmatrix}k_{12}\\ k_{22}\\ \vdots\\ k_{n2}\end{pmatrix}\\ \vdots&\qquad\qquad\qquad \vdots\\ T\vec{a}_1&=k_{1n}\vec{a}_1+k_{2n}\vec{a}_2+\cdots+k_{nn}\vec{a}_n=(\vec{a}_1\quad\cdots\quad\vec{a}_n)\begin{pmatrix}k_{1n}\\ k_{2n}\\ \vdots\\ k_{nn}\end{pmatrix}\end{cases}
这个方程组可以写成矩阵的形式
\[(T\vec{a}_1\quad T\vec{a}_2\quad\cdots\quad T\vec{a}_n)=(\vec{a}_1\quad\cdots\quad\vec{a}_n)\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \vdots&&&\vdots\\ k_{n1}&k_{n2}&\cdots&k_{nn}\end{pmatrix}=(\vec{a}_1\quad\cdots\quad\vec{a}_n)A\]
矩阵 \(A\) 称为线性变换 \(T\) 在基 \(\{\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n\}\) 下的矩阵。
例4，求\(P_3(x)\) 上微分算子 \(D\) 的矩阵。
解：我们知道 \(P_3(x)\) 上的一组基为 \(\{x^3,x^2,x,1\}\)，它们在微分算子下像为
\[Dx^3=3x^2=0x^3+3x^2+0x+0, Dx^2=2x, Dx=1,D1=0\]
也就是说，\[(Dx^3\quad Dx^2\quad Dx\quad D1)=(x^3\quad x^2\quad x\quad 1)\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 3&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}\]
所以微分算子 \(D\) 在基 \(\{x^3,x^2,x,1\}\) 下的矩阵为
\[A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 3&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}\]