非齐次线性方程组

这一节我们研究非齐次线性方程组的理论。我们先看一个例子。

笔记下载:非齐次线性方程组

例1:解线性方程组

\begin{cases}x+10z=5\\ 3x+y-4z=-1\\ 4x+y+6z=1\end{cases}

解:在之前的课程里我们说过了,解非齐次线性方程组,我们将它的增广矩阵做初等变换,相当于对方程组做高斯消元法。

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 3&1&-4&\vdots&-1\\ 4&1&6&\vdots&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 0&1&-34&\vdots&-16\\ 0&1&-34&\vdots&-19\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 0&1&-34&\vdots&-16\\ 0&0&0&\vdots&-3\end{pmatrix}\end{align*}

它所对应的方程组为

\begin{cases}x+10z=5\\ y-34z=-16\\ 0=-3\end{cases}第三个方程说明了这个方程组是无解的。

相应的,我们给出下列的定义

1,定义:我们称方程组是

  • 相容方程组:如果方程组有解;
  • 不相容方程组:如果方程组无解。

对于非齐次线性方程组,我们有如下的结论:

2,定理(非齐次线性方程组有解无解的判定):若

  • 若 \(R(A)<R(A,\vec{b})\),则方程组无解;
  • 若 \(R(A)=R(A,\vec{b})<n\),则方程组有无穷多个解;
  • 若 \(R(A)=R(A,\vec{b})=n\),则方程组有唯一解;

证明:(1)若 \(R(A)<R(A,\vec{b})\),则增广矩阵的行阶梯矩阵最后一个非零行可化为 \(\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&\vdots &1\end{pmatrix}\),它对应的方程为 \(0=1\) 不可能有解。

(2)若 \(R(A)=R(A,\vec{b})<n\),则所有方程都是相容的,并且有 \(n-R(A)\) 个自由元。所以方程组有无穷多个解。

(3)若 \(R(A)=R(A,\vec{b})=n\),则方程组没有自由元。增广矩阵的行最简矩阵的形式为

\[(A,\vec{b})\sim \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&\vdots&\tilde{b}_1\\ 0&1&\cdots&0&\vdots&\tilde{b}_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\vdots&\tilde{b}_n \end{pmatrix}\]

所以方程组有唯一解 \[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde{b}_1\\\tilde{b}_2\\ \vdots\\ \tilde{b}_n\end{pmatrix}\]

由这个定理,如果我们只是确定一个方程组的解的情况,而不需要求出解的时候,我们只需要将增广矩阵化成行阶梯形就可以,不需要将增广矩阵化成行最简形。

我们先来求解一个方程组,然后利用上面的定理来确定方程组是否有解,有唯一解还是无穷多解。

例2:解线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\),其中 \(A=\begin{pmatrix}2&3&1\\ 1&-2&4\\ 3&8&-2\\ 4&-1&9\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}4\\-5\\13\\-6\end{pmatrix}\)。

解:方程组的增广矩阵为

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}2&3&1&\vdots&4\\ 1&-2&4&\vdots&-5\\ 3&8&-2&\vdots&13\\ 4&-1&9&\vdots&-6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\2&3&1&\vdots&4\\ 3&8&-2&\vdots&13\\ 4&-1&9&\vdots&-6\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&7&-7&\vdots&14\\ 0&14&-14&\vdots&28\\ 0&7&-7&\vdots&14\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&7&-7&\vdots&14\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&2&\vdots&-1\\0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以方程组的解为(参见如何快速地写出方程组的解?

\[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\]

现在我们来看方程组有解无解的判定。

例3:问 \(a\) 取何值时,方程组 \begin{cases}-2x_1+x_2+x_3=-2\\ x_1-2x_2+x_3=a\\ x_1+x_2-2x_3=a^2\end{cases} 有解?并求它的通解。

解:我们将方程的增广矩阵的第一、第二行加到第三行去

\begin{align*}{A,\vec{b}}&=\begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& a\\ 1&1&-2&\vdots&a^2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& a\\ 0&0&0&\vdots&a^2+a-2\end{pmatrix} \end{align*}

第一、第二行不成比例,所以系数矩阵的秩为 \(R(A)=2\),若方程组有解,则必有 \(a^2+a-2=0\),即 \(a=-2, 1\)。而且方程组有无穷多个解。

若 \(a=-2\),则

\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ -2&1&1&\vdots&-2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&-3&3&\vdots&-6\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&\vdots& 2\\ 0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以方程组的通解为\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\)

若 \(a=1\),则

\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ -2&1&1&\vdots&-2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&-3&3&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&1&-1&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&\vdots& 1\\ 0&1&-1&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以方程组的通解为 \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)

例4,问 \(a,b\) 取何值时,方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_2+2x_3+2x_4=1\\ -x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\\ 3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}\) (1)无解;(2)有唯一解;(3)无穷个解?并求通解。

解:增广矩阵为

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&-1&a-3&-2&\vdots&b\\ 3&2&1&a&\vdots&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&a-3&-2&\vdots&b\\ 0&-1&-2&a-3&\vdots&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&a-1&0&\vdots&b+1\\ 0&0&0&a-1&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

(1)若 \(a-1=0, b+1\ne 0\),则 \(R(A)=2\< R(A,\vec{b})=3\),方程组无解。即若 \(a=1,b\ne -1\),方程组无解;

(2)若 \(a\ne 1\),则 \(R(A)= R(A,\vec{b})=3\),方程组有唯一解。

(3)若 \(a=1,b=-1\),则 \(R(A)= R(A,\vec{b})=2\),方程组有无穷多个解。这时候

\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&-1&\vdots&-1\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以我们得到方程组的通解

\[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}1\\-2\\ 1\\0\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\]