解线性方程组,一般来说,最有效的方法就是高斯消元法。我们来看一个例子。
笔记下载:线性方程组与矩阵
例1:解线性方程组
,我们有
,
,
,
,
\begin{cases}x=1\\ y=2\\z=3\end{cases}
这样我们就解出了方程组。
从上面我们求解的过程中我们看到,我们并没有对“变量”做什么,而是对变量的系数及非齐次项做了一些运算,我们可以将系数及非齐次项提出来,对它们进行运算,等价于对方程组做消元法。我们来看对应的运算
方程的系数与非齐次项按照顺序组成一个表,这样的数表我们称之为矩阵:
消元法的运算对应于矩阵的运算:
回到方程组,上面的矩阵对应于方程组
我们看到了,方程组的消元法,对应于矩阵的一系列的运算,这样的运算,我们称之为矩阵的初等(行)变换。
现在我们给出矩阵的一般概念。
2,矩阵:我们将 行,
列数字组成的数叫做
矩阵,记做
,

3,系数矩阵与增广矩阵:考虑方程组
\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\quad \vdots\quad \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}
我们记
系数矩阵与增广矩阵:我们称 为方程组的系数矩阵,
为方程组的增方矩阵。
再由以上的记号,方程组可以简写为 。
4,矩阵的初等变换:我们之前看到了,方程组的消元法对应于矩阵的初等(行)变换。消元法主要是以下三种运算
- 将一个方程乘以某个不等于
的常数;
- 将一个方程加上另一个方程的某个倍数;
- 交换两个方程
那么对应于矩阵的运算为:
- 将矩阵的一行乘以某个不等于
的常数;
- 将一行加上另一行的某个倍数;
- 交换两行。
我们看到,矩阵的初等变换与行列式的初等变换是一样的。只是一般情况下,行列式的初等运算可以同时对行和列进行,但矩阵的初等变换一般只对行或者列进行。要同时进行有很多限制。
5,行阶梯矩阵:这种形状的矩阵称为行阶梯矩阵
- 每一个非
行的第一个非
元的下方元素都是
;
- 每一个非
行的第一个非
元位于上一行第一个非
元的右边。
- 全
行位于矩阵的最下方
行最简矩阵,就是这种形状的矩阵
用文字描述就是满足下列三个条件的矩阵:
- 每一个非
行最左边的非
元都是
- 每一个非
行的最左边的非
元的上、下方元素都是
;
- 每一个非
行的第一个非
元位于上一行第一个非
元的右边。
- 全
行位于矩阵的最下方 。
很显然,行最简矩阵都是行阶梯形矩阵。
解线性方程组的过程,我们就是将方程组的增广矩阵化成行最简矩阵,然后从行最简矩阵所对应的方程组,可以很容易地得到方程组的解。如果方程组是齐次的,就是方程组右边全为 ,我们只需要对系数矩阵化简就行了,因为右边无论怎么变,始终是
。
注意,一定要化成行最简矩阵,这样求解更方便快速。虽然化成行阶梯形就能求出解,但计算仍然不是很方便,也容易出错。我们来看一个利用矩阵的初等变换来解线性方程组的例子。
例2:解线性方程组
\begin{cases}-x_1+2x_2-5x_3=2\\ -2x_1-3x_2+4x_3=11\\ 4x_1-7x_2+17x_3=-7\end{cases}
解:我们对方程组的增广矩阵作初等行变换,
这已经是行最简矩阵了,它所对应的方程组为
\begin{cases}x_1=-2\\ x_2=-5\\ x_3=-2\end{cases} 这就是方程组的解。