# 线性方程组与矩阵

$\begin{cases}x+y+2z=9,\quad & \textcircled{1}\\2x+4y-3z=1,&\textcircled{2}\\ 3x+6y-5z=0,&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{2}+\textcircled{1}\times (-2), \textcircled{3}+\textcircled{1}\times (-3)$$，我们有

$\begin{cases}x+y+2z=9,\quad & \textcircled{1}\\2y-7z=-17,&\textcircled{2}\\ 3y-11z=-27,&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{2}\time\frac{1}{2}$$，

$\begin{cases}x+y+2z=9,\quad & \textcircled{1}\\y-\frac{7}{2}z=-\frac{17}{2},&\textcircled{2}\\ 3y-11z=-27,&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{3}+\textcircled{2}\times(-3)$$，

$\begin{cases}x+y+2z=9,\quad & \textcircled{1}\\y-\frac{7}{2}z=-\frac{17}{2},&\textcircled{2}\\ -\frac{1}{2}z=-\frac{3}{2},&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{3}\time(-2)$$，

$\begin{cases}x+y+2z=9,\quad & \textcircled{1}\\y-\frac{7}{2}z=-\frac{17}{2},&\textcircled{2}\\ z=3,&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{2}+\textcircled{3}\time\frac{7}{2}, \textcircled{1}+\textcircled{3}\time(-2)$$，

$\begin{cases}x+y=3,\quad & \textcircled{1}\\y=2,&\textcircled{2}\\ z=3,&\textcircled{3}\end{cases}$

$$\textcircled{1}+\textcircled{2}\time(-1)$$，

$\begin{cases}x=1\\ y=2\\z=3\end{cases}$

$\begin{pmatrix}1&1&2&\vdots& 9&\textcircled{1}\\ 2&4&-3&\vdots&1&\textcircled{2}\\ 3&6&-5&\vdots&0&\textcircled{3}\end{pmatrix}$

\begin{align*}\begin{pmatrix}1&1&2&\vdots& 9&\textcircled{2}\\ 2&4&-3&\vdots&1&\textcircled{2}+\textcircled{1}\times (-2)\\ 3&6&-5&\vdots&0&\textcircled{3}+\textcircled{1}\times (-3)\end{pmatrix}& \sim\begin{pmatrix}1&1&2&\vdots&9&\\ 0&2&-7&\vdots& -17&\textcircled{2}\times\frac{1}{2}\\ 0&3&-11&\vdots&-27\end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1&1&2&\vdots&9&\\ 0&1&-\frac{7}{2}&\vdots& -\frac{17}{2}&\\ 0&3&-11&\vdots&-27&\textcircled{3}+\textcircled{2}\times(-3)\end{pmatrix} &\sim \begin{pmatrix}1&1&2&\vdots&9&\\ 0&1&-\frac{7}{2}&\vdots& -\frac{17}{2}&\\ 0&0&-\frac{1}{2}&\vdots&-\frac{3}{2}&\textcircled{3}\times(-2)\end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1&1&2&\vdots&9&\\ 0&1&-\frac{7}{2}&\vdots& -\frac{17}{2}&\textcircled{2}+\textcircled{3}\times\frac{7}{2}\\ 0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix}&\sim \begin{pmatrix}1&1&2&\vdots&9&\textcircled{1}+\textcircled{3}\times(-2)\\ 0&1&0&\vdots& 2&\\ 0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1&1&0&\vdots&3&\textcircled{1}+\textcircled{2}\times(-1)\\ 0&1&0&\vdots& 2&\\ 0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix}&\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&1\\ 0&1&0&\vdots& 2\\ 0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix} \end{align*}

2，矩阵：我们将 $$m$$ 行， $$n$$ 列数字组成的数叫做 $$m\times n$$ 矩阵，记做 $$A_{m\times n}$$，

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$如果不需要特别指出它的行、列数，我们可以直接以大写字母 $$A,B,\cdots$$ 等等表示矩阵。

3，系数矩阵与增广矩阵：考虑方程组

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots b_m\end{pmatrix}$

$(A\vdots \vec{b})= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\vdots &b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\vdots&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&\vdots& b_m\end{pmatrix}$

4，矩阵的初等变换：我们之前看到了，方程组的消元法对应于矩阵的初等（行）变换。消元法主要是以下三种运算

• 将一个方程乘以某个不等于 $$0$$ 的常数；
• 将一个方程加上另一个方程的某个倍数；
• 交换两个方程

• 将矩阵的一行乘以某个不等于 $$0$$ 的常数；
• 将一行加上另一行的某个倍数；
• 交换两行。

5，行阶梯矩阵：这种形状的矩阵称为行阶梯矩阵

$\begin{pmatrix} 1&1&2&9\\ 0&2&-7& -17\\ 0&0& -1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$用文字描述就是满足下列两个条件的矩阵：

• 每一个非 $$0$$ 行的第一个非 $$0$$ 元的下方元素都是 $$0$$；
• 每一个非 $$0$$ 行的第一个非 $$0$$ 元位于上一行第一个非 $$0$$ 元的右边。
• 全 $$0$$ 行位于矩阵的最下方

$\begin{pmatrix}1&0&1&0&2\\ 0&1&2&0&-1\\ 0&0&0&1&3\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

• 每一个非 $$0$$ 行最左边的非 $$0$$ 元都是 $$1$$
• 每一个非 $$0$$ 行的最左边的非 $$0$$ 元的上、下方元素都是 $$0$$；
• 每一个非 $$0$$ 行的第一个非 $$0$$ 元位于上一行第一个非 $$0$$ 元的右边。
• 全 $$0$$ 行位于矩阵的最下方 。

\begin{cases}-x_1+2x_2-5x_3=2\\ -2x_1-3x_2+4x_3=11\\ 4x_1-7x_2+17x_3=-7\end{cases}

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}-1&2&-5&\vdots&2\\ -2&-3&4&\vdots&11\\ 4&-7&17&\vdots&-7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&-5&\vdots&2\\ 0&-7&14&\vdots&7\\ 0&1&-3&\vdots&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}-1&2&-5&\vdots&2\\ 0&1&-2&\vdots&-1\\ 0&1&-3&\vdots&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&-5&\vdots&2\\ 0&1&-2&\vdots&-1\\ 0&0&-1&\vdots&2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&5&\vdots&-2\\ 0&1&-2&\vdots&-1\\ 0&0&1&\vdots&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&0&\vdots&8\\ 0&1&0&\vdots&-5\\ 0&0&1&\vdots&-2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-2\\ 0&1&0&\vdots&-5\\ 0&0&1&\vdots&-2\end{pmatrix}\end{align*}

\begin{cases}x_1=-2\\ x_2=-5\\ x_3=-2\end{cases} 这就是方程组的解。