矩阵初等变换的方法与步骤

对矩阵做初等变换,基本上只有数字的加、减、乘、除这四则运算,看起来并没有什么方法与技巧可言。但是,如果顺序选择得不对,或者数字没有选取好,会增加不少的计算量。这里我们给出了计算的方法与步骤,可以最有效地对矩阵进行化简。

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1,初等变换的基本步骤:

  • 首先,选择矩阵的第一列,选取这一列里最简单的一个数字,将它所在的行交换到第一行;然后将这个数字下方的所有元素都化成 \(0\);
  • 保持第一行不变,在剩下的行中,选取第一个不为 \(0\) 的列,重复上一步的运算,依次进行,将矩阵化成行阶梯矩阵;
  • 将每一个非 \(0\) 的第一个非 \(0\) 元化成 \(1\);
  • 从最后一个非 \(0\) 行开始,将第一个非 \(0\) 元的上方元素都化成 \(0\);
  • 依次重复上述运算,将矩阵化成行最简矩阵。

简单地说,就是两点:

  • 按列进行,先从左到右化成阶梯形,再从右到左化成行最简矩阵;
  • 每次找一个最简单的数字做为基础进行变换。

我们来看例题。

例1:将矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 2&-2&-1&2&4\\ 3&-3&-1&4&5\\ 1&-1&1&1&8\end{pmatrix}\) 化成行最简矩阵。

解:我们依次先从左边到右边将矩阵化成行阶梯形,再从右边到左边化成行最简矩阵。

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 2&-2&-1&2&4\\ 3&-3&-1&4&5\\ 1&-1&1&1&8\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 0&0&1&2&-2\\ 0&0&2&4&-4\\ 0&0&2&1&5\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 0&0&1&2&-2\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&-3&9\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 0&0&1&2&-2\\ 0&0&0&-3&9\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 0&0&1&2&-2\\ 0&0&0&1&-3\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&-1&0&3\\ 0&0&1&0&4\\ 0&0&0&1&-3\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0&7\\ 0&0&1&0&4\\ 0&0&0&1&-3\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} \end{align*}

现在已经是行最简矩阵了。

例2:将矩阵 \(A=\begin{pmatrix}3&8&-3&-14&2\\ 2&3&-1&-2&1\\ 1&-2&1&10&0\\ 1&5&-2&-12&1\end{pmatrix}\) 化成行最简矩阵。

解:这个矩阵我们看到了,第一行的第一个数字不是最简单的,它是 \(3\),如果想把它下方的数字都变成 \(0\),会出现不少的分数运算,这不是一个让人舒服的过程。但是如果我们把第三行或者第四行交换到第一行来,那么基础数字就是 \(1\) 了,这是最简单不过的数字了。所以我们第一步,先交换一、三两行,再做其它运算

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}3&8&-3&-14&2\\ 2&3&-1&-2&1\\ 1&-2&1&10&0\\ 1&5&-2&-12&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&10&0\\ 2&3&-1&-2&1\\ 3&8&-3&-14&2\\1&5&-2&-12&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&10&0\\0&7&-3-22&1\\ 0&14&-6&-44&2\\0&7&-3&-22&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-2&1&10&0\\0&7&-3&-22&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&10&0\\0&1&-\frac{3}{7}&-\frac{22}{7}&\frac{1}{7}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{7}&\frac{26}{7}&\frac{2}{7}\\0&1&-\frac{3}{7}&-\frac{22}{7}&\frac{1}{7}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}