逆矩阵的定义与性质

我们有矩阵的加、减、乘法,那么如何定义矩阵的“除法”呢?这就是逆矩阵的定义。

笔记下载:逆矩阵的定义及性质

1,逆矩阵:如果两个方阵 \(A, B\),满足 \(AB=BA=I\),我们称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵,记为 \(B=A^{-1}\),\(A\) 也是 \(B\) 的逆矩阵。

2,可逆矩阵:如果 \(A\) 有逆矩阵,我们称 \(A\) 为可逆矩阵。

奇异矩阵:若 \(A\) 不可逆,我们称 \(A\) 为奇异矩阵。

非奇异矩阵:若矩阵可逆,则称为非奇异矩阵。

3,二阶方阵的逆矩阵:对于二阶方阵,我们可以直接给出它们可逆的条件与逆矩阵的表达式。

定理:设 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}\),则 \(A\) 可逆 \(\Longrightarrow ad-bc\ne 0\),而且 \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c& a\end{pmatrix}\)。

证明: 我们记 \(B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{pmatrix}\),由 \(AB=I\),我们有

\[\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\]

也就是 \[\begin{cases}ab_{11}+bb_{21}=1\\ cb_{11}+db_{21}=0\end{cases},\quad \begin{cases}ab_{12}+bb_{22}=0\\ cb_{12}+db_{22}=1\end{cases} \]

运用消元法,这两个方程组有解的充分必要条件是 \(ad-bc\ne 0\)。若方程组可解,我们可以解得\[A^{-1}=B=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c& a\end{pmatrix}\]

例1:求矩阵 \(A=\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)。

解:由逆矩阵的公式

\[A^{-1}=\frac{1}{18-20}\begin{pmatrix}6&-4\\ -5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\]

4,定理(克莱姆法则):若 \(A\) 可逆,则 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的解为 \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\)。

证明:我们对方程两边左乘以 \(A^{-1}\),则

\[A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b} \quad\Rightarrow\quad \vec{x}=A^{-1}\vec{b}\]

例2:求解方程组

\begin{cases}3x_1+4x_2=3\\ 5x_1+6x_2=7\end{cases}

解:从前面的例子,我们知道,\(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\)。所以方程组的解为

\[\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\]

最后我们来了解一下逆矩阵的性质。

5,逆矩阵的性质:

  • \((A^{-1})^{-1}=A\);
  • \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\);
  • \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)。

第一个性质是显然的,我们证明第二个和第三个性质。

(2)\((AB)(B^{-1}A^{-1})=ABB^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\),所以 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\);

(3)根据转置矩阵的性质,\(A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I^T=I\)