矩阵可逆的条件

从前面矩阵可逆的充分必要条件,结合线性方程组及矩阵秩的理论, 我们可以得到一系列矩阵可逆的等价条件。

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对于可逆矩阵,我们有下列的定理

1,定理(矩阵可逆的等价条件):下列条件是等价的

  • \(A\) 可逆;
  • \(|A|\ne 0\);
  • \(A\sim I\);
  • \(R(A)=n\);
  • \(A\vec{x}=0\) 只有零解;
  • \(A\vec{x}=\vec{b}\) 有唯一解;
  • 存在矩阵 \(B\) 使得 \(AB=I\);
  • 存在矩阵 \(C\),使得 \(CA=I\);
  • \(A^T\) 可逆。

所有这些条件中,比较好用的是通过矩阵的秩来判断。因为这个方法,计算量最小。如果只需要判断矩阵是否可逆而不需要求它的逆的时候,这个条件最方便。其次用得比较多的是利用可逆矩阵的行列式不为 \(0\) 的条件。

我们来看两个例子。

例1:判断矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{pmatrix}\) 是否可逆。

解:我们用两种方法来判定。

(1)我们对矩阵作初等变换

\[A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&-14&10\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&0&0\end{pmatrix}\]

所以 \(R(A)=2<3\),所以矩阵不可逆。

(2)我们求矩阵的行列式\[|A|=\begin{vmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&-14&10\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&0&0\end{vmatrix}=0\]所以矩阵不可逆。

例2:设 \(A=\begin{pmatrix}0&-2&1\\ 3&0&-2\\ -2&3&0\end{pmatrix}\),问 \(A\) 是否可逆?

解:这个矩阵,\(0\) 元素比较多,利用行列式会比较方便。

\[|A|=\begin{vmatrix}0&-2&1\\ 3&0&-2\\ -2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-2&1\\ 3&-4&0\\ -2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3&-4\\ -2&3\end{vmatrix}=1\ne 0\]所以矩阵可逆。