用初等变换求逆矩阵

用初等变换法求方阵的逆矩阵是最有效的一种方法。这一节我们讲述如何应用这种方法求逆矩阵。

笔记下载:用初等变换求逆矩阵

1,二阶方阵的逆矩阵:我们之前推导出了二阶方阵的逆矩阵, 若 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\),\(ad-bc\ne 0\), 则 \[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]

2,矩阵可逆的充分必要条件

定理:矩阵 \(A\) 可逆 \(\Longrightarrow A\sim I\)。

这定理就是说,若一个矩阵可逆,则它可以通过初等变换化成单位矩阵。

证明:“\(\Rightarrow\)” 若 \(A\) 可逆,则对任何 \(\vec{b}\),方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 都有解 \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) 且解唯一。所以 \[R(A)=R(A,\vec{b})=n\]所以 \(A\) 的行最简矩阵为 \(I\),也就是 \(A\sim I\)。

“\(\Longleftarrow\)” 若 \(A\sim I\),则 \(A\) 通过一系列行变换化成 \(I\)。因为左乘一个初等矩阵等价于对矩阵做一次初等变换,我们有

\[A\sim I_1A \sim I_2I_1A\sim\cdots\sim I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I\]

所以 \[I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I\]

所以 \(A\) 可逆,\(A^{-1}=I_pI_{p-1}\cdots I_1\)。证毕。

从上面的证明我们看到,\[I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I, I_pI_{p-1}\cdots I_1 I=A^{-1}\]

也就是说,如果我们对 \(A\) 作一系列初等行变换化成单位矩阵,而同样的初等行变换将单位矩阵化成 \(A\) 的逆矩阵。所以我们得到了求逆矩阵的方法。

3,求逆矩阵的方法:将单位矩阵与矩阵 \(A\) 组成一个新的矩阵 \((A,I)\),然后对这个矩阵做初等行变换,将 \(A\) 化成单位矩阵后,\(I\) 就化成了 \(A^{-1}\)。也就是

\[(A,I)\sim (I,A^{-1})\]

我们用例子来说明这个方法。

例1:求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&-3&8\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

解:由上面的方法

\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 1&0&3&\vdots&0&1&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&-3&-4&\vdots&0&-4&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\0&1&0&\vdots&-2&4&-1\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\-2&4&-1\\ \frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

例2:求矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2&3&4\\2&1&1\\ -1&1&2\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

解:\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}2&3&4&\vdots&1&0&0\\2&1&1&\vdots&0&1&0\\ -1&1&2&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&1&2&\vdots&0&0&1\\ 2&1&1&\vdots&0&1&0\\ 2&3&4&\vdots&1&0&0\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 2&1&1&\vdots&0&1&0\\ 2&3&4&\vdots&1&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&5&8&\vdots&1&0&2\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&-1&-2&\vdots&1&-2&-2\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&-1&\vdots&3&-5&-4\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-1&2&1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-1&2&1\\ 0&1&0&\vdots&5&-8&-6\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2&1\\ 5&-8&-6\\ -3&5&4\end{pmatrix}\)