用伴随矩阵求逆矩阵

用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵,是另一种求逆矩阵的方法。这种方法,在理论应用中比较多。在求具体的矩阵的逆矩阵中,初等变换法更常用。

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我们先证明逆矩阵的唯一性。

1,定理:若 \(A\) 可逆,则其逆矩阵是唯一的。

证明:设 \(B\) 和 \(C\) 都是 \(A\) 的逆矩阵,则 \[B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C\] 所以 \(B=C\)。

2,伴随矩阵:我们定义矩阵 \(A\) 的伴随矩阵为 \[A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots& A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\] 其中 \(A_{ij}\) \(|A|\) 关于 \(a_{ij}\) 的代数余子式。

这里要注意到的是,伴随矩阵的下标,是行列互换的。第 \(i\) 行的代数余子式在伴随矩阵的第 \(i\) 列。

我们在讲行列式的时候,曾经证明过这样的定理:

3,定理:\(|A|\) 的一行乘以另一行的代数余子式之和为 \(0\),即若 \(i\ne j \),则 \[a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\]

下面我们给出用伴随矩阵求逆矩阵的方法。

4,定理:矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是 \(|A|\ne 0\),且 \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)。

证明:“\(\Longrightarrow\)” 若 \(A\) 可逆,\(AB=I\),则 \[|AB|=I,\quad\Rightarrow\quad |A||B|=1\quad \Rightarrow \quad |A|\ne 0\]

“\(\Longleftarrow\)” 我们有

\[AA^*=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots& A_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{1n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|A|&0&\cdots&0\\ 0&|A|&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&|A|\end{pmatrix}=|A|I\]

这里我们应用了上一个定理,行列式的一行乘以另一行的代数余子式之和为 \(0\)。

所以我们得到了等式 \(AA^*=|A|I\),从而 \(A\cdot \frac{1}{|A|}A^*=I\),也就是说 \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\]

我们举一个例子,用伴随矩阵来求逆矩阵。事实上这种方法的计算量很大,阶数越高越明显。

例1:设 \(A=\begin{pmatrix}2&3&4\\ 2&1&1\\ -1&1&2\end{pmatrix}\),求 \(A^{-1}\)。

解:我们先求行列式

\[|A|=\begin{vmatrix}2&3&4\\ 2&1&1\\ -1&1&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&5&8\\ 0&3&5\\ -1&1&2\end{vmatrix}=(-1)(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}5&8\\ 3&5\end{vmatrix}=-1\]

所以矩阵可逆。现在我们来求伴随矩阵。

\[A_{11}=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\ -1&2\end{vmatrix}=-5,\quad A_{13}=\begin{vmatrix}2&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\]

\[A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}3&4\\1&2\end{vmatrix}=-2,\quad A_{22}=\begin{vmatrix}2&4\\ -1&2\end{vmatrix}=8,\quad A_{23}=(-1)^{2+3}=\begin{vmatrix}2&2\\-1&1\end{vmatrix}=-5\]

\[A_{31}=\begin{vmatrix}3&4\\1&1\end{vmatrix}=-1,\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4\\ 2&1\end{vmatrix}=6,\quad A_{33}=\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=-4\]

所以 \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=-1\begin{pmatrix}1&-2&-1\\ -5&8&6\\ 3&-5&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2&1\\ 5&-8&-6\\ -3&5&4\end{pmatrix}\]

我们看到,这个结果跟上次课程里的结果是一样的。