方阵及其行列式

方阵是行数与列数相同的矩阵,对于方阵来说,我们可以定义它的行列式。

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方阵是一种特殊的矩阵,它的行数与列数相同。在方阵里,又有一些特殊的矩阵。

1,单位矩阵:主对角线都是 \(1\) ,其余元素都是 \(0\) 的方阵,称为单位矩阵,记为 \(I_{n\times n}\),若不需要指出它的阶,一般记为 \(I\)。就是

\[I=\begin{pmatrix}1&&&\\&\ddots&&\\ &&\ddots\\ &&&1\end{pmatrix}\]

单位矩阵的作用类似于 \(1\) 在实数中的作用,矩阵乘以单位矩阵等于矩阵本身。即\[A\cdot I=A,\quad I\cdot B=B\]

2,对角矩阵:除了对角线元素外,其余元素都是 \(0\) 方阵,叫做对角阵。对角阵可以记为 \(\text(diag)(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)。

3,对称矩阵与反对称矩阵:

  • \(A^T=A\),称为对称矩阵;
  • \(A^T=-A\),称为反对称矩阵;

4,方阵的幂:\(n\) 个相同方阵相乘, \[A^n=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n},\quad A^)=I\]

5,方阵的行列式。对于方阵,我们可以定义它们的行列式。记为 \(|A|\) 或者 \(\text{det}A\)。由行列式的性质和矩阵的运算,我们有方阵行列式的运算法则:

  • \(|A^T|=|A|\);
  • \(|\lambda A|=\lambda^n|A|\);
  • \(|AB|=|A||B|\)。

前两个可以由行列式的性质和矩阵的数乘的定义得到。我们证明最后一个性质。

证明:我们用二阶的方阵来证明,三阶及以上方阵的证明类似。我们记

\[M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&0&0\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\ 0&-1&b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\]

利用行列式的展开式,我们可以得到 \(|M|=|A||B|\),再从 \(AB\) 的表达式,得到 \(|AB|\),它们是相等的。细节请读者去完成。